利用函数解决不等式问题 习题课导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题 利用函数解决不等式问题 课型 习题课 一、内容及其解析 1.内容 不等式关系、函数最值解决不等式、函数的单调性与导数的符号关系. 2.内容解析 函数与不等式内容的考查点主要是利用函数的性质解不等式，构造函数比较大小，不等式恒成立或有解、求参数取值范围及证明不等式.考查的知识点有函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）和基本初等函数（二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数），导数、不等式的基本性质及证明不等式的常用方法（分析法、综合法、放缩法）. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，关于不等式的学习要求包括能够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质处理不等式问题，能够利用导数研究函数的单调性，体会导数与函数的单调性及其最值的关系，会用导数方法证明不等式. 导数是研究函数图象和性质的重要工具，也是高考数学的重点和难点内容.利用导数研究问题不仅可以培养学生的运算能力，训练学生分析问题和解决问题的能力，还可以感受函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想. 二、目标及其解析 1.目标 ⑴经历从“形”与“数”、“猜”到“证”判定大小关系的过程，学会用作差法与作商法比较大小关系，提升直观想象和数学运算核心素养； ⑵通过对不等式中的函数结构特征进行分析，掌握构造函数的技巧并理解构造函数的本质，感悟转化与化归、数形结合、分类讨论的数学思想，发展逻辑推理、数学运算核心素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： ⑴学生能从“形”的角度判断出函数的大小关系，再从“数”的角度确定研究问题构造合适的目标函数，利用导数的工具性作用验证猜想； ⑵学生能将复杂的函数转化为合适的函数，优化构造的目标函数，利用导数法针对性地确定函数最值，并反思总结从函数观点如何运用函数的性质，处理不等式问题的经验与技巧. 三、教学问题诊断分析 ⑴学生对作商法比较大小易遗忘，未抓住比较大小的本质； ⑵学生对题设条件进行等价转化的意识薄弱； ⑶学生盲目使用导数法证明不等式，未能宏观上先从函数视角分析看待不等式问题. 四、教学重点与难点 教学重点：运用函数的图象、性质及最值判断函数大小关系、证明不等式、并解决含参的不等式问题. 教学难点：理解从数形结合的角度全方位多角度分析处理不等式问题. 五、教学活动设计 （一）问题引入 教师活动： 驱动问题1： 判断函数与函数在上的大小关系. 学生活动： 分析问题1： 利用与图象猜想结论. 作差构造函数进行不等式证明：构造函数， ，构造函数，得， 令，得，与关系如下表 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，故，在上单调递增，所以，故，时等号成立. 教师活动： 驱动问题2： 回忆正实数还有哪些方法可以比较大小？ 学生活动： 分析问题2： 作商法与1进行比较. 教师活动： 驱动问题3： 那么函数可否利用该方法比较大小？ 学生活动： 分析问题3： 构造函数，因为，所以在上单调递增，所以，又因为，所以， ，时等号成立. 教师点评： 基于两函数的图象位置关系有时我们可以确定不等关系，用代数方法如何判定不等关系呢，我们发现函数比较大小其实就是在定义域内同一个之下，比较两函数值，若将两函数构造在一起，就相当于从一个新函数出发来解决不等式问题，目前我们可以将两函数构造在一起的方法有作差法和作商法. 设计意图： 从旧知引入，引导学生经历先从“形”猜结论，再由“数”验证结论的过程，建构利用构造函数判定不等关系的常见方法——作差法、作商法，为接下来证明不等式问题作理论铺垫. （二）应用拓展 教师活动： 驱动问题1： 判断函数与函数在上的大小关系. 学生活动： 分析问题1： 利用与的图象猜想结论. 移项作差法构造函数 证明：令 则 令 则 令 则， 因为在上递增， 且 存在，使得， 即 0 单减 极小值 单增 …… …… 乘以作差构造函数 证明：令 则 令 则 令 则在上单调递增 因为 所以存在，使得， 即. 与关系如下表 0 单减 极小值 单增 …… …… 变形作差法构造函数 证明：令 则 令 则， 所以在上单调递增， 故 令，得 与关系如下表 0 单减 极小值 单增 故. 移项作商法构造函数 证明：令，则 令， 则，令， 得， 与关系如下表 0 单调 递减 单调 递增 ， 令，得 与关系如下表 0 单调 递增 单调 递减 ， 故. 教师活动： 驱动问题2： 同样是利用作差法、作商法构造函数，为什么解题过程