3.4 圆周角和圆心角的关系 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 第4节 圆周角和圆心角的关系(二) 1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应 用其进行简单的计算和证明. 学习目标 2.掌握圆内接四边形的有关概念及其性质. 复习回顾 1.什么叫做圆周角？ 什么是圆周角定理和推论1 ？ 2.求圆中角x的度数 A B O C x 100° 25° x A B C D A B C D E • F O 45° 15° x 议一议 观察图⑴，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ ⑴ 解：直径BC所对的圆周角是直角 即∠BAC=90° 证明： ∵BC是⊙O的直径 ∴∠BOC=180° ∴∠BAC= ∠BOC=90° 1 2 直径所对的圆周角是直角 ⑵ 议一议 观察图⑵,圆周角∠BAC=90°,弦BC是直径吗？为什么？ 解：弦BC是直径,理由如下： 连接OB,OC. ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° ∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径 90°的圆周角所对的弦是直径 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2： A B C O B C A O 几何语言： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 几何语言： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径 随堂练习 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？ 随堂练习 如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长。 A B C O 解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10 ∴AC= AB=5 1 2 议一议 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径 ∴∠ABC=90°,∠ADC=90° ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 议一议 如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ A B C O D 2 1 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立 连接OB，OD ∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 ∵∠BAD= ∠1 1 2 ∠BCD= ∠2 1 2 A B C O D A B C O D 如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 推论3： 圆内接四边形的对角互补 A B C O D A B C O D 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） 想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ A B C O D E 解：∠A=∠CDE ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠BCD+∠DCE=180° ∴∠A=∠DCE 内接四边形任何一个外角都等于它的内对角 外角 内对角 随堂练习 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数。 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ 即∠C的度数为100° 知识技能 1.如图，在⊙O中,∠BOD=80°,求∠A和∠C的度数. A B C O D 80° 40° 140° 解：∵ ∠BOD =80° ∴ ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140° （圆内接四边形的对角互补） 2.如图，AB是⊙O的直径,∠C=15°,求∠BAD的度数 A B C O D 解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90° （直径所对的圆周角为直角） ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等） 方法一： 知识技能 2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数 A B C O D 解：连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30° ∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA 又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180° ∴∠BAD=75° 方法二： 知识技能 3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数。 A B D O C E F 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+