3.3 垂径定理 课件2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.3 垂径定理 宿州市第二初级中学 杜庆云 复习导入 圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (1)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论. (2)能利用垂径定理解决相应问题. 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 探究1 B O A C D E 探究1 B O A C D E 垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧． 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①过圆心 ②垂直于弦 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段 AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． N O A B M C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立． C B D A O E 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 知二推三，可得10个结论 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.2)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m. r 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． r2= a2+d2 随堂演练 基础巩固 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC ⌒ ⌒ 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 . A. 10 、 8 B. 8 、 6 C. 10 、 3 D. 10 、 6 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形. 5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求： (1)∠AOB的度数； (2)点O到AB的距离. 6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径. 8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 综合应用 解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1)，过点O作OM⊥CD