第10章轴对称平移与旋转特色专题训练最短路径问题 练习课件2023—2024学年华东师大版数学七年级下册

第10章　轴对称、平移与旋转 长春特色专题训练（七） 训练　最短路径问题 华师吉林　七年级下 ⁠ ⁠　两点一线型 1.如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下列作图正确的是（　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 2.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上找一点P， 使PM＋PN最短，则点P应选在点 　C　⁠处. C　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.如图，线段AC是正方形ABCD的对角线，点M是边CD上一 定点（不与点D，C重合），请在对角线AC上取一点P，使得△PDM的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）. 解：如图，点P即为所求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.如图①，要在直线l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个 城镇分别铺设管道，输送燃气. （1）试确定燃气站的位置，使铺设的管道最短； 解：（1）如图①，点P即为燃气站的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）如图②，如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护 区，燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置，使铺设的管道最短. 解：（2）如图②，点Q即为燃气站的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁠ ⁠　两线一点型 5.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图，分别作点P关于OM，ON的对称点P'，P″，连 结P'P″，分别交OM，ON于点A，B，连结OP，OP'，OP″.此时△PAB的周长最小，为P'P″的长.由轴对称的性质可得OP'＝OP＝OP″，∠P'OA＝∠POA，∠APO＝∠AP'O，∠P″OB＝∠POB，∠BPO＝∠BP″O， 所以∠OP'P″＝∠OP″P'， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 易得∠P'OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°， 所以∠OP'P″＝∠OP″P'＝（180°－80°）÷2＝50°， 所以∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP'O＝50°， 所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.（1）如图①，点M在锐角∠AOB的内部，在边OA上求作 一点P，在边OB上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小； 解：（1）如图①，点P，Q即为所求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）如图②，点M在锐角∠AOB的内部，在边OB上求作一 点N，使得点N到点M的距离与点N到边OA的距离之和最小. 解：（2）如图②，点N即为所求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁠ ⁠　两线两点型 7.如图，小明打算从A处赶几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设小明赶羊走的都是直线，请你为他设计一条最短路线，标明放羊与饮水的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图，AC→CD→DB是他走的最短路线，放羊的位置 　为点C，饮水的位置为点D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.如图，已知P、Q两点在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上 求作点M、N，使PM＋MN＋NQ最短. 解：如图，点M，N即为所求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.如图，牧马人从A处出发，先到草地边（直线MN）某一处 牧马，再到河边（直线l）饮马，然后回到B处，要求设计一条最短路径. 同学甲：牧马人把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 同学乙：作点A关于直线MN的对称点A'，再作点B关于直线l的对称点B'，连结A'B'交直线l于点P，交MN于点Q，则路径A→Q→P→B为最短路径. 你认为哪名同学的方案正确？说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：同学乙的方案正确，理由：根据同学乙的方案作图，如 图所示. ∵点A，A'关于直线MN对称，点B，B'关于直线l对称，∴AQ＝A'Q，BP＝B'P，∴AQ＋QP＋BP＝A'Q＋QP＋B'P＝A'B'.由“两点之间，线段最短”可知，路径A→Q→P→B为最短路径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$