6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 3. 余弦定理、正弦定理应用举例 第六章 平面向量及其应用 一 二 三 学习目标 了解常用的测量相关术语 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度角度的实际问题 根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 学习目标 新课导入 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。 光学经纬仪 水准仪 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案. 【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角 【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角 【定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角。 【定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 铅 垂 线 视线 视线 水平线 仰角 俯角 北 东     北 东           仰角和俯角 方位角 方向角 OA：北偏西40°，OB：南偏西60° 基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 基线 相关知识 新知探究 可到达点与不可到达点之间的距离 例1 如图，在河岸的一边选定两点 河对岸有一个标记物 测得 求 两点间的距离. a • 解: 由题意知 ， ， 由正弦定理，得 ， 所以 . 注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 例如AB就是基线 新知探究 两个不可到达点之间距离 A B C D α β γ δ a 第三步：在△ADC和△BDC中，对照例1应用正弦定理得出AC,BC的长 第一步：测量者可以在河岸边选定两点C，D，CD作为基线 第二步：测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ， 思考：能用问题1的方法，来解决这个问题吗？ 例2 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离. 解：如图, 在A, B两点的对岸选定两点C, D，测得 a 于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离 思考 在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？ 先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。 新知探究 两个不可到达点之间距离 例2 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离. 例题小结 距离测量问题包括(一个不可到达点)和(两个不可到达点)两种 设计测量方案的基本原则是： 能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，计算时需要利用(正、余弦定理)。 距离测量问题 跟踪练习 1. 如图，隔河能看见目标A,B但不能到达,在岸边选取相 距 的C,D两点，并测得 ， ,(A,B,C,D在同一平面内）， 求目标A,B 之间的距离. 新知探究 思考 你能设计一个测量方案，测出地球和月球之间的大致距离吗？ α β A B 设基线AB = C 故AC= asinβ sin(π-α-β) asinβ sin(α+β) = 背景资料 早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km. 典例解析 思考 如何测量建筑物的高度呢? 例3 如图，设计一种测量方法，测量塔的高度. 解：如图，在△ABC中，测得 高度测量—底部可达 典例解析 高度测量—底部不可达 例4 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物AB的高度． α β AC= asinβ sin(α-β) AB=AE+h=ACsinα+h= +h a sinβsinα sin(α-β) 解：如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a ，测角仪器的高是h.那么，在∆ACD中， 由正弦定理，得 【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A