12.3 角的平分线的性质-【优鸿】八年级上册数学同步提分练(人教版)

初中数学·八年级上册 难度1 第⼗⼆章 全等三⻆形 角平分线的性质 1. 如图，在 中， ， 平分 交 于 ，若 ， ， 则点 到 的距离为        . 2. 如图所示， ，点 是线段 的中点，且 ，点 到 的距离等于 ，则点 应是         的平分线与         的平分线的交点. 3. 如图，在 中， ， ， ， .那么 和 相等 吗？ 4. 如图， 中，与 和 相邻的外角的平分线相交于点 .求证：点 在 的平分线上. 5. 如图，在 中， 平分 ， ， ， 的面积是 .求 的面积． 6. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 的两边上，分别取 ，再分 别过点 ， 作 ， 的垂线，交点为 ，画射线 ，则 平分 ．为什么? 参考答案 1 2 ； 3 相等 4 证明：过点 作 于 ，
于 ，
于 ，如图： ∵ 、 分别为
、 的平分线， ∴ ， . ∴ . ⼜∵
、
， ∴点 在 的平分线上. 5 6 ∵分别过点 ， 作 ， 的垂线，交点为 ， ∴ ， ∴ 和 都是直⻆三⻆形. ∵在 和 中， ∴ ≌ . ∴ . ⼜∵ ， ， ∴点 在 的平分线上， 即 平分 . 初中数学·八年级上册 难度2 第⼗⼆章 全等三⻆形 角平分线的性质 1. 在 中， ， ， 的平分线 交 于点 ，且 ，则点 到 的距离为         . 2. 如图，在 中， ，点 到 、 、 三边的距离相等，则 的度 数为         . 3. 如图，在 中， 是 的中点， ， ，垂足分别是 ， ， ．求证： 是 的角平分线． 4. 如图， ， ， 与 相交于点 ，且 . (1)求证：点 在 的平分线上； (2)若把条件“ ”与 中的结论交换位置，所得到的命题是真命题吗? 参考答案 1 2 3 证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ 和 是直⻆三⻆形. ∵ 是 的中点， ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ . ⼜∵ ， ， ∴ 在 的平分线上， 即 是 的⻆平分线. 4 （1）证明：∵ ， ， ∴ . 由图可知： 与 是对顶⻆， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . ⼜∵ ， ， ∴ 在 的平分线上. （2）是 初中数学·八年级上册 难度3 第⼗⼆章 全等三⻆形 角平分线的性质 1. 如图所示， 为三条公路，要想在 内部修建一个加油站，使它到三条公路 的距离相等，试确定加油站 的位置，并说明理由． 2. 如图，已知 于点 ， 于点 ， ， 相交于点 .求证： (1)当 时， ； (2)当 时， . 3. 如图所示，以 的两边 ， 为边分别向外作等边 和等边 ，连接 ， 交于点 ．求证： 平分 ． ， ， 参考答案 1 点 为 三个内⻆的⻆平分线的交点，如图， 根据三⻆形三个内⻆的⻆平分线的交点到这个三⻆形三条边的距离相等 2 （1）证明：∵ ， ∴ 是 的⻆平分线. ⼜∵ 于点 ， 于点 ， ∴ . ∵ ， ， ∴ . 由图可知， 和 为对顶⻆， ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ ( ). ∴ . （2）证明：∵在 和 中， ∴ ≌ ( ). ∴ . ⼜∵ ， ， ∴点 在 的⻆平分线上， ∴ . 3 证明：∵ 是等边三⻆形， ∴ ， . ∵ 是等边三⻆形， ∴ ， ， 由图可知， ，
， ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ . 作 于点 ， 于点 ，如图： 则 . ∴点 在 的⻆平分线上， 即 平分 .