第06讲 多边形（4个知识点+4种题型+强化训练）-2023-2024学年八年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 多边形（4个知识点+4种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点2．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 知识点3．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 知识点4．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 知识复习 一．多边形（共7小题） 1．（春•浦东新区校级月考）以线段，，，为边作四边形，可以作　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（2023春•长宁区校级期中）如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形．已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于 　　． 3．（2023春•虹口区期末）我们如下定义：如果一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，那么称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图，已知点，，，如果格点四边形（即四边形的顶点都在格点上）是以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形，那么点的坐标是 　　． 4．（2023春•期末）因为四边形具有不稳定性，故将边长为1的正方形压扁为边长为1的菱形（如图①．在菱形中，设，面积为． （1）请补全表： 　　 　　 1 　　 （2）填空：由（1）可以发现边长是1的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着大小的变化而变化．不妨把边长为1，的菱形面积记为． 例如：当时，，当时，． 由表可以得到　　，　　，，由此可以归纳出　　． （3）将两块相同的等腰直角三角形按图②的方式放置，若，．求证：． 5．（2023春•期中）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）如图1，四边形是垂美四边形，用等式表示、、、之间的数量关系并证明； （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点、，若，，求线段的长． 6．（2023•期