第9招巧用勾股定理判定直角的六种方法作业课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

第9招 巧用勾股定理判定直角的六种方法 沪科版 八年级下册 整合方法·提升练 典 例 剖 析 某校把一块三角形的空地开辟为植物园，如图，测得AC＝80 m，BC＝60 m，AB＝100 m. 若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠最短？ 例 整合方法·提升练 典 例 剖 析 解题秘方：解实际生活中的问题时，需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题，再利用数学知识进行解答．本题中： 已知△ABC中，AC＝80 m，BC＝60 m，AB＝100 m. 若CD⊥AB，求AD的长． 整合方法·提升练 典 例 剖 析 整合方法·提升练 典 例 剖 析 在Rt△ACD中，∵AC2＝AD2＋CD2， ∴802＝AD2＋482. ∴AD＝64 m， 即点D距点A 64 m时，水渠最短． 整合方法·提升练 方法 利用三边的数量关系说明直角 1 分 类 训 练 1. 整合方法·提升练 整合方法·提升练 整合方法·提升练 分 类 训 练 2. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12.求S四边形ABCD. 方法 利用三边的数量关系构造直角三角形 2 整合方法·提升练 整合方法·提升练 分 类 训 练 3. 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5， AD＝6，AC＝13. 证明：AB⊥AD. 方法 利用倍长中线法构造直角三角形 3 整合方法·提升练 证明：如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE. ∵D是BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB．∴EB＝AC＝13. 在△ABE中，AE＝2AD＝12，AB＝5， ∴AE2＋AB2＝122＋52＝169. 又∵EB2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝EB2. ∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°. 即AB⊥AD. 整合方法·提升练 【点方法】 本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用直角三角形的判定方法证明三角形是直角三角形，从而证明两条线段垂直． 整合方法·提升练 方法 用化分散为集中的方法构造直角三角形 4 分 类 训 练 4.如图，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN＝45°，设AM＝a，MN＝x，BN＝b，判断以x，a，b为边长的三角形的形状． 整合方法·提升练 解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴将△ACM绕点C逆时针旋转90°，可得△BCD，连接ND，如图所示． 则∠A＝∠CBD，CM＝CD，BD＝AM＝a，∠MCD＝90°. ∵∠MCN＝45°，∴∠DCN＝∠MCN＝45°. 又∵CN＝CN，∴△MCN≌△DCN(SAS)． 整合方法·提升练 ∴DN＝MN＝x. 又易知∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBD＝∠A＝45°. ∴∠NBD＝∠CBA＋∠CBD＝90°. ∴△NBD为直角三角形，即以x，a，b为边长的三角形是直角三角形． 整合方法·提升练 分 类 训 练 5. [2023·聊城]如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. (1)求证：∠EAD＝∠EDA； 方法 根据“三线合一”构造直角三角形 5 整合方法·提升练 整合方法·提升练 (2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积． 整合方法·提升练 分 类 训 练 6. 方法 利用旋转法构造直角三角形 6 整合方法·提升练 (1)求EF的长； 整合方法·提升练 整合方法·提升练 解：∵AC＝80 m，BC＝60 m，AB＝100 m， ∴AC2＋BC2＝802＋602＝6 400＋3 600＝1002＝AB2. ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边． 当CD⊥AB时，CD最短． ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴S△ABC＝AB·CD＝AC·BC.∴CD＝48 m. [2023·成都七中月考]已知△ABC的三边长分别为a，b，c. (1)化简：； 解：∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a－b－c＜0. ∴＝|a－b－c|＝－a＋b＋c. 解：∵b＝＋＋13， ∴a＝5，b＝13. ∵52＋122＝169＝132，即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． (2)若a，b满足b＝＋＋13，且c＝12，判断此三角形的形状． 解：连接AC. 在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2， ∴AC＝5. ∴AC2＋AD2＝52＋122＝132＝CD2. ∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝36. 证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BA