安徽专版2024春八年级数学下册极速提分法第7招根与系数的关系的九种应用作业课件 沪科版

第7招 根与系数的关系的九种应用 沪科版 八年级下册 整合方法·提升练 典 例 剖 析 例 已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0， (1)若方程有实数根，求a的取值范围． 整合方法·提升练 典 例 剖 析 解题秘方： 对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论； 整合方法·提升练 典 例 剖 析 解：当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根； 当a≠5时，方程为一元二次方程， Δ＝16＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1. ∴a的取值范围为a≥1. 整合方法·提升练 (2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足 x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 典 例 剖 析 解题秘方： 对于存在性问题，先假设存在，求出字母的值，再通过代入进行验证． 整合方法·提升练 典 例 剖 析 整合方法·提升练 应用 已知方程一根，求另一根及待定系数 1 分 类 训 练 1. [2023·湖州期末]已知关于x的方程2x2＋kx－4＝0. (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 证明：∵Δ＝k2－4×2×(－4)＝k2＋32>0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 整合方法·提升练 (2)若方程的一个根是－2，求方程的另一个根． 整合方法·提升练 分 类 训 练 2.已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求： 应用 已知方程，求有关两根的代数式的值 2 整合方法·提升练 (2)(x1－x2)2的值． 解：(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1x2＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×2＝16－8＝8. 整合方法·提升练 【点方法】 将代数式变形成关于x1＋x2和x1x2的组合形式，然后利用根与系数的关系求解． 整合方法·提升练 分 类 训 练 3. 应用 已知两方程，求含两未知数的代数式的值 3 整合方法·提升练 整合方法·提升练 应用 已知方程，求字母系数的取值范围 4 分 类 训 练 4.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的两根的平方和小于5，求k的取值范围． 整合方法·提升练 整合方法·提升练 【点易错】 本题容易忽略Δ≥0这个条件，做题时要注意方程有根的条件． 整合方法·提升练 分 类 训 练 5. [2023·天津中学模拟]已知关于x的一元二次方程 x2－(2a－1)x＋a2－a＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 证明：∵Δ＝[－(2a－1)]2－4(a2－a) ＝4a2－4a＋1－4a2＋4a＝1>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 应用 已知方程，求字母系数的值 5 整合方法·提升练 (2)若方程有两个实数根x1，x2，且 x1(x2＋1)＋x2(x1＋1)＝7，求a的值． 解：由(1)及根与系数的关系可得： x1＋x2＝2a－1，x1x2＝a2－a. ∵x1(x2＋1)＋x2(x1＋1)＝7，∴x1x2＋x1＋x1x2＋x2＝7， 即2x1x2＋x1＋x2＝7. 代入得2(a2－a)＋2a－1＝7，整理得a2＝4，∴a＝±2. 整合方法·提升练 分 类 训 练 应用 已知方程，判断根的符号 6 6.不解方程，判断方程2x2＋3x－7＝0两根的符号． 整合方法·提升练 应用 已知两根，求一元二次方程 7 分 类 训 练 7.已知－1和3是关于x的某个一元二次方程的根，且方程中二次项系数为1，请写出这个方程． 整合方法·提升练 解：设这个方程为x2＋ax＋b＝0. 由题意得－1＋3＝－a，－1×3＝b， ∴a＝－2，b＝－3. ∴这个方程为x2－2x－3＝0. 整合方法·提升练 8.已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9. 求证：x＝y. 应用 结合根的判别式证明等式 8 分 类 训 练 整合方法·提升练 证明：由题意知x＋y＝6，xy＝z2＋9， ∴x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9＝0的两个实数根， 从而得Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0， 于是z＝0，从而Δ ＝0. 易知方程t2－6t＋9＝0有两个相等的实数根t1＝t2＝3， ∴x＝y＝3. 整合方法·提升练 9. 应用 结合根的判别式证明不等式 9 分 类 训 练 整合方法·提升练 证明：由题设条件知bc＝a2－a＋1， b＋c＝2a2－2bc＋2＝2a. 于是b，c是关于t的一元二次方程 t2－2at＋a2－a＋1＝0的两个实数根． ∴Δ＝4a2－4(a2－a＋1)≥0， 解得a≥1. 整合方法·提升练 【点方