极速提分法第18招常用构造中位线的五种方法作业课件 2023- 2024学年沪科版八年级数学下册（安徽专版）

第18招 常用构造中位线的五种方法 沪科版 八年级下册 整合方法 提升练 典 例 剖 析 例 整合方法 提升练 解题秘方: 整合方法 提升练 典 例 剖 析 证明:如图,延长AM,AN,分别交BC于点F,G. ∵BD平分∠ABC,AN⊥BD, ∴∠ABN=∠GBN,∠ANB=∠GNB=90 . 又∵BN=BN,∴ ABN≌ GBN. ∴AN=NG,AB=BG. 同理可得AM=MF,AC=CF, ∴M,N分别为AF,AG的中点. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 方法 连接两点构造三角形的中位线 1 分 类 训 练 1. [2023 广西]如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为_. 整合方法 提升练 【点拨】 整合方法 提升练 分 类 训 练 2. 如图,在 ABC中,点M为BC的中点,AD为 ABC的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求DM的长. 方法 已知角平分线与垂直关系构造中位线 2 整合方法 提升练 解:如图,延长BD交AF于点N. 由题易知∠NAD=∠BAD,∠ADN=∠ADB=90 . 又∵AD=AD, ∴ AND≌ ABD(ASA). ∴DN=DB,AN=AB. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 分 类 训 练 3.如图,在 ABC中,已知AB=6,AC=10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长. 整合方法 提升练 解:如图,延长BD交AC于点F, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠ADF=90 . 又∵AD=AD,∴ ADB≌ ADF(ASA). ∴AF=AB=6,BD=FD. ∵AC=10,∴CF=AC-AF=10-6=4. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 方法 倍长法构造三角形的中位线 3 分 类 训 练 4. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 整合方法 提升练 分 类 训 练 5. 方法 已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线 4 整合方法 提升练 整合方法 提升练 整合方法 提升练 分 类 训 练 6. [2023 武汉外国语学校月考]如图,四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别为AD,BC的中点,EF⊥MN交AB于点E,交CD于点F.求证:∠AEF=∠DFE. 方法 作辅助线构造三角形的中位线 5 整合方法 提升练 证明:延长NM与BA的延长线交于点P, 与CD的延长线交于点Q,连接BD, 取BD的中点G,连接MG,NG,如图, ∵M,N分别为边AD,BC的中点, ∴MG,NG分别是 ABD, BCD的中位线. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 如图,在 ABC中,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,AM⊥CE于点M,AN⊥BD于点N,求证: MN=(AB+AC-BC). 图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=(AB+AC-BC),可找以MN为中位线的三角形的底边,故延长AM交BC于点F,延长AN交BC于点G,易证明MN=FG,而FG=BG+FC-BC. 又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解. ∴MN=FG. 又∵FG=BG+FC-BC=AB+AC-BC, ∴MN=(AB+AC-BC). 连接AE,首先证明出MN是 AEF的中位线,得出 MN=AE,然后由正方形的性质和勾股定理得到AE==,证明出当BE最大时,AE最大,此时MN最大,进而得到当点E和点C重合时,BE最大,最后代入求解即可. 又∵M为BC的中点, ∴DM为 BNC的中位线, ∴DM=NC=(AN+AC)=(AB+AC)=15. ∵E为BC的中点, ∴DE是 BCF的中位线. ∴DE=CF= 4=2. 如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,BA=BC, BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90 ,M为AF的中点,求证:ME=CF. 证明:如图,延长FE至N,使EN=EF,连接BN,AN. 易得ME=AN. ∵EF=EN,∠BEF=90 , ∴BE垂直平分FN. ∴BF=BN.∴∠BNF=∠BFN. ∵ BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90 , ∴∠BFN=45 .∴∠BNF=45 . ∴∠FBN=90 ,即∠FBA+∠ABN=90 . 又∵∠FBA+∠CBF=90 , ∴∠CBF=∠ABN. 又∵CB=AB,∴ BCF≌ BAN(SAS). ∴CF=AN.∴ME=CF. 如图,在 ABC中,∠C=90 ,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点,CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点,求证:AE=MN. 证明:如图,取AB的中点H,连接MH,NH. ∵点M,H,N分别为AF,AB,BE