极速提分法第10招利用勾股定理巧解折叠问题作业课件 2023- 2024学年沪科版八年级数学下册（安徽专版）

第10招 利用勾股定理巧解折叠问题 沪科版 八年级下册 整合方法 提升练 典 例 剖 析 如图,纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上的点E处,折痕为AF. 已知AB=10,AD=8. 例 整合方法 提升练 典 例 剖 析 解题秘方:翻折问题常常在三角形和四边形中出现,翻折前后的两个图形是全等图形,利用翻折求线段长时,一般都利用勾股定理建立方程模型解决问题. 整合方法 提升练 典 例 剖 析 (1)求BF的长; 整合方法 提升练 典 例 剖 析 (2)求折痕AF的长. 整合方法 提升练 技巧 巧用对称法求折叠中线段的长 1 分 类 训 练 1. [2023 济南历城区期末]如图,在四边形ABCD中,∠A=90 ,AB=8 cm,AD=4 cm,BC=CD,E是AB上一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,则DE的长为_. 5 cm 整合方法 提升练 分 类 训 练 2. [新考法 变式探究法]在 ABC中,∠C=90 ,AC=6,BC=8,D,E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把 ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′. 整合方法 提升练 (1)如图①,如果点B′和顶点A重合,求CE的长; 整合方法 提升练 (2)如图②,如果点B落在AC边上,求CE的取值范围. 整合方法 提升练 分 类 训 练 3. 【2022 丽水】如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF. 技巧 巧用方程思想求折叠问题中的线段长 2 整合方法 提升练 (1)求证: PDE≌ CDF; 证明:∵四边形ABCD是长方形, ∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90 ,AB=CD. 由折叠得AB=PD,∠A=∠P=90 , ∠B=∠PDF=90 , ∴PD=CD,∠PDF=∠ADC. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 (2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长. 整合方法 提升练 整合方法 提升练 技巧 巧用折叠探究线段之间的数量关系 3 分 类 训 练 4.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点D′处,折痕分别交AD,BC于点E,F,连接CE. 整合方法 提升练 (1)求证:AE=AF=CE=CF; 证明:由题意知AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE. ∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC, ∴∠AEF=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF. ∴AE=AF. ∴AE=AF=CE=CF. 整合方法 提升练 (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出一个a,b,c三者之间的数量关系式. 解:由题意知AE=CE=a. 由∠D=90 知ED2+DC2=CE2, 即b2+c2=a2. 整合方法 提升练 分 类 训 练 5. 技巧 巧用勾股定理探求点的坐标及直线的函数表达式 4 整合方法 提升练 (1)求线段AB的长; 整合方法 提升练 (2)若在y轴上有点P,使得S PAB=5,求点P的坐标; 整合方法 提升练 (3)求点C的坐标和直线CD的函数表达式. 解:由题意知AB=AC, ∴OC=OA+AB=3+5=8. ∴C(8,0). 设点D(0,m),则OD=-m, ∴BD=CD=4-m. 在Rt OCD中,CD2=OC2+OD2, 即(4-m)2=82+(-m)2, 解得m=-6,∴D(0,-6). 整合方法 提升练 整合方法 提升练 解:由题意得DE===6. 设BF=x,则EF=BF=x, EC=CD-DE=AB-DE=10-6=4, FC=BC-BF=AD-BF=8-x. 在Rt EFC中,EC2+FC2=EF2, 即42+(8-x)2=x2,解得x=5,故BF=5. 解:在Rt ABF中,由勾股定理得AB2+BF2=AF2. ∵AB=10,BF=5, ∴AF==5. 解:设CE=x,则BE=8-x. 由题意得AE=BE=8-x. 由勾股定理得x2+62=(8-x)2, 解得x=.即CE的长为. 解:当点B落在C处时, CE取得最大值4, 结合(1)可知, CE的取值范围是≤CE≤4. ∴∠PDE=∠CDF. 在 PDE和 CDF中, ∴ PDE≌ CDF(ASA). 解:如图,过点E作EG⊥BC于点G, ∴∠EGF=90 ,易得EG=CD=4 cm, 在Rt EGF中,由勾股定理得 FG==3(cm). 设CF=x cm,则PE=AE=BG=x cm, CG=DE=(x+3)cm. ∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE. 由折叠得∠BFE=∠DFE, ∴∠DEF=∠DFE.∴DE=DF=(x+3)cm. 在Rt CDF中,由勾股定理得DF2=CD2+CF2, ∴42+x2=(x+3)2,解得x=, ∴BC=2 +3=+3=(cm). [2023 石家庄二模