第5章 相交线与平行线 第2讲 专题12 几何大综合 课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题十二　几何大综合 1．如图1，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，直线DG与直线BC交于点F. (1)证明：∠A＝∠ACF－∠ABC； (2)在图1中，若∠G＝30°，求∠A的度数； (3)如图2，连接FE，若2∠DFE＝∠ABC＋2∠G，求证：FE∥AD. 【解答】 (1)在BF上方作CT∥AB， ∴∠ACT＝∠A，∠TCF＝∠ABC， ∵∠ACF＝∠ACT＋∠TCF， ∴∠ACF＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝∠ACF－∠ABC； 2．如图，直线AB∥CD，直线MN分别与AB，CD交于点E，F. (1)如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想； (2)如图2，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠EG1F＋∠G2＝180°. (2)证明：如图，过点G1作G1H∥AB， ∵AB∥CD， ∴G1H∥CD， ∴∠3＝∠G2FD， 由(1)知∠G2＝∠1＋∠3，∠EG1F＝∠BEG1＋∠G1FD， ∵FG2平分∠EFD， ∴∠4＝∠G2FD， ∵∠1＝∠2， ∴∠G2＝∠2＋∠4， ∵∠EG1F＝∠BEG1＋∠G1FD， ∴∠EG1F＋∠G2＝∠2＋∠4＋∠BEG1＋∠G1FD ＝∠BEF＋∠EFD， ∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴∠EG1F＋∠G2＝180°. 3.如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，求证：∠E＋∠C－∠A＝180°； (2)如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAF＝eq \f(1,3)∠BAE，∠DCP＝eq \f(1,3)∠DCE. ①试探究∠E与∠APC的数量关系； ②如图3，延长CE交射线PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α(0°<α<22.5°)，则∠PQC的度数为 (用含α的式子表示)． 【解答】 (1)在点E右侧作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠AEF＝∠A，∠C＋∠FEC＝180°， ∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝∠A＋180°－∠C. 即∠AEC＋∠C－∠A＝180°； 4．如图，点A，B分别在直线GH，MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D. (1)求证：GH∥MN； (2)如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝eq \f(1,3)∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数 ． 【解答】(1)如图1，延长AC交MN于点P， ∵∠ACD＝∠D， ∴AC∥BD， ∴∠APN＝∠DBN， ∵∠GAC＝∠NBD， ∴∠APN＝∠GAC， ∴GH∥MN； (2)如图2，过点C向右作CF∥GH，过点D向左作DQ∥GH， 过点E向右作EK∥GH. ∵GH∥MN，∴CF∥GH∥DQ∥EK∥MN. ∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC， ∴设∠GAE＝∠EAC＝x， ∠CDE＝∠BDE＝y，∠AED＝∠GAC＝2x，∠ACD＝∠CDB＝2y. ∵EK∥QD∥MN，∴∠EDB＝∠EDQ＋∠QDB＝∠KED＋∠DBN＝x＋2x＝y， ∴y＝3x， ∴∠ACD＝6x， ∴∠ACD＝3∠GAC； (3)由题意，得∠GAK＝eq \f(2,3)x，∠AKB＝∠ACD＝6x，∠MBK＝90°－x， 易得∠AKB＝∠GAK＋∠KBM，即6x＝eq \f(2,3)x＋90°－x，解得x＝eq \f(270°,19)， ∴∠GAC＝eq \f(540°,19). $$