第5章 相交线与平行线 第2讲 专题8 分类讨论思想求角 课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题八　分类讨论思想求角 50°或110° 30°，30°或70°，110° 　按照点的不同位置关系分类讨论求角  【例1】　已知AB∥CD，∠BAD＝50°，点P在直线AD上，E为CD上一点． (1)如图1，当点P在线段AD延长线上时，求证：∠PEC－∠APE＝130°； 【解答】 在点P左侧作PF∥AB. ∵AB∥CD， ∴PF∥AB∥CD. ∴∠APF＝∠BAD＝50°.设∠APE＝x，则∠EPF＝50°－x， ∠PEC＝180°－∠EPF＝180°－(50°－x)＝130°＋x， ∴∠PEC－∠APE＝130°＋x－x＝130°. 图1 (2)如图2，当点P在射线DA上运动时(不与点A，D重合)， 求∠APE与∠PEC之间的数量关系． 【解答】 ①当点P在线段AD上时，在点P左侧作PF∥AB， 易得PF∥AB∥CD.设∠APE＝x，则∠EPF＝x－50°， ∠PEC＝180°－∠EPF＝180°－(x－50°)＝230°－x， ∴∠PEC＋∠APE＝230°－x＋x＝230°； 图2 备用图 ②当点P在线段DA延长线上时，在点P右侧作PF∥AB， 易得PF∥AB∥CD，∠APF＝∠BAD＝50°，设∠APE＝x， 则∠FPE＝∠PEC＝∠APF＋∠APE＝50°＋x， ∴∠PEC－∠APE＝50°＋x－x＝50°. 故∠APE＋∠PEC＝230°或∠PEC－∠APE＝50°. 　按照线的不同位置关系分类讨论求角  【例2】　如图，已知直线AB∥CD，直线GF分别交直线AB，CD于E，F两点，∠GEB＝70°，点M为直线EF左侧一点，且∠BEM＝150°，∠EMF＝30°，则∠GFM＝ . 【解答】 当点M在AB上方时，在点E上方作EN∥FM，则∠GFM＝∠GEN，∠NEM＝∠EMF＝30°，∠GEM＝∠BEM－∠GEB＝80°， ∴∠GFM＝∠GEN＝80°－30°＝50°； 当点M在AB下方时，在点E左侧作EN∥FM，则∠GFM＋∠NEF＝180°，∠EMF＝∠NEM＝30°， ∠BEF＝180°－∠GEB＝110°，∠MEF＝∠BEM－∠BEF＝40°， ∴∠NEF＝∠MEF＋∠NEM＝70°， ∴∠GFM＝180°－70°＝110°，故∠GFM＝50°或110°. 　分类讨论求角之间的关系 方法技巧 点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系． 【例3】　将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图①)，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. (1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由； (2)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由． 【解答】 (1)∠BCD＋∠ACE＝180°，理由如下： ∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD， ∴∠BCD＋∠ACE＝90°＋∠ACD＋∠ACE＝90°＋90°＝180°； (2)当CE运动到AC右侧，BC上方时， ∵当AB∥CE， ∴∠BCE＝180°－∠B＝120°， 又∵∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝360°－120°－90°＝150°； 当CE运动到BC下方时， ∵AB∥CE， ∴∠BCE＝∠B＝60°，又∵∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝90°－60°＝30°. 综上所述，当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB. 【例4】　如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC. (1)求证：BE⊥DE； (2)H是直线CD上一动点(不与点D重合)，BI平分∠HBD交CD于点I，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由． 【分析】 (1)根据基本图作辅助线即可得到BE⊥DE； (2)分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解． 【解答】 (1)证明：在点E右侧作EF∥AB. ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠EDC. ∵EF∥AB， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＋∠CDB＝180°， ∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠ABE＝eq \f(1,2)∠ABD， ∠EDC＝eq \f(1,2)∠CDB， ∴∠ABE＋∠EDC＝eq \f(1,2)∠ABD＋eq \f(1,2)∠CDB＝90°， ∴∠BEF＋∠FED＝90°， ∴BE⊥DE； (2)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°－2∠EBI. 理由：∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠EBD， ∵BI平分∠HBD， ∴∠HBD＝2∠IBD， 点H在点D的