第5章 相交线与平行线 第2讲 方程思想求角课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题七　方程思想求角 　直接设一个未知数求角 方法技巧 求结论中未知角的度数时，若题目中的未知角与此角都有联系，就直接设该角度列方程． 【例1】　如图，AD∥BC，∠A＝∠C＝50°，线段AD上从左到右依次有两点E，F(不与点A，D重合)． (1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)若∠FBD∶∠CBD＝1∶4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，求∠FBD的度数，并判断BE与AD的位置关系？ 【解答】 (1)AB∥CD，理由： ∵AD∥BC， ∴∠A＋∠ABC＝180°. ∵∠A＝50°， ∴∠ABC＝130°， ∵∠C＝50°， ∴∠C＋∠ABC＝180°， ∴AB∥CD. (2)∵AD∥BC， ∴∠1＝∠EBC. ∵AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∵∠1＝∠BDC， ∴∠1＝∠BDC＝∠ABD＝∠EBC. ∴∠ABE＝∠DBC. ∵BE平分∠ABF，设∠FBD＝x，则∠DBC＝4x， ∴∠ABE＝∠EBF＝4x， ∴∠ABC＝4x＋4x＋x＋4x＝130°， ∴x＝10°， ∴∠FBD＝10°， ∵∠1＝4x＋x＋4x＝90°， ∴BE⊥AD. 【例2】　如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D. (1)求证：∠ABD＝∠C； (2)如图2，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＋∠NCF＝180°，∠ABF＝2∠ABE，求∠FCB的度数． 【解答】 (1)略； (2)设∠DBE＝x＝∠ABE，易得∠BCN＝∠ABD＝2x，∠ABF＝2∠ABE＝2x， ∠FBC＝∠DBF＝4x，∠ABC＝2x＋4x＝6x＝90°，x＝15°， ∴∠BCN＝2x＝30°. ∵DM∥NC， ∴∠NCF＋∠DFC＝180°， ∵∠FCB＋∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠DFC. 又∵∠DFC＋∠FCB＋∠BCN＝180°， ∴2∠FCB＋30°＝180°，∠FCB＝75°. 　设两个未知数，列关系式求解  【例3】　如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C. (1)猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长DE至点F，连结BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C－140°，求∠C的度数． 图1 图2 【分析】 (1)直接运用同旁内角互补两直线平行证明； (2)证明∠1＝∠2＝∠3，设∠1＝∠2＝x，∠C＝y，列方程组求解． 【解答】 (1)猜想：AB∥CD， 理由：∵AE∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠A＝∠C， ∴∠C＋∠B＝180°. ∴AB∥CD； (2)∵AE∥BC， ∴∠2＝∠3，∠A＋∠ABC＝180°， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠ABC＋∠C＝180°， ∴∠C＋2∠2＝180°. 设∠1＝∠2＝∠3＝x，∠C＝y，则y＋2x＝180°，∠AEF＝2∠2＝2x， ∠AEF＋∠AED＝180°，∠AED＝2∠C－140°＝2y－140°， ∴2x＋2y－140°＝180°，即x＋y＝160°，又y＋2x＝180°， ∴x＝20°，y＝140°. ∴∠C＝140°. 　设两个未知数，列一个方程巧解角的度数 方法技巧 题目中有两个独立未知角，只有一个等式，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角． 【例4】　如图，AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上两点，点G在AB，CD之间，连接MG，NG，点E是AB上方一点，连接EM，EN，且GM的延长线平分∠AME，NE平分∠CNG,2∠MEN＋∠MGN＝105°.求∠AME的度数． 【分析】 题目中两条角平分线，两个独立未知数，只有2∠MEN＋∠MGN＝105°一个等式，列一个方程巧解． 【解答】过点E在点E右侧作ET∥AB，过点G在点G左侧作GK∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥ET∥KG∥CD，设∠AMF＝x，∠ENC＝y. ∵FM平分∠AME，NE平分∠CNG， ∴∠GNE＝∠ENC＝y，∠AMF＝∠EMF＝∠FGK＝x， 易得∠GND＝180°－2y，∠MEN＝∠TEN－∠TEM＝y－2x， ∠MGN＝∠FGK＋∠KGN＝x＋180°－2y， 又2∠MEN＋∠MGN＝105°， ∴2(y－2x)＋x＋180°－2y＝105°，解得x＝25°. ∴∠AME＝2x＝50°. 1．如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点N，F在直线CD上，EP平分∠AEN，FH∥EN，延长PF到点G，FG平分∠DFH，若∠PFC＝∠AEP＋10°，求∠BEN的度数． 【解答】 ∵EP平分∠AEN，FG平分∠DFH， ∴设∠PEN＝∠AEP＝x，∠HFG＝∠DFG＝