第5章 相交线与平行线 第2讲 专题6 整体思想求角课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题六　整体思想求角 　设单个未知数求定角  【例1】　如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG. (1)求证：PF∥GH； (2)如图2，连接PH，K是GH上一点，∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK交MN于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【解答】 (1)过点P作AB的平行线交MN于点T. ∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°. ∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠BEP＋∠PFD＝eq \f(1,2)(∠BEF＋∠EFD)＝90°. 易证∠EPF＝∠BEP＋∠PFD＝90°. ∵GH⊥EG， ∴∠EGH＝∠EPF＝90°. ∴PF∥GH； (2)∠HPQ的大小不发生变化．理由如下：设∠PHK＝∠HPK＝x. ∵PF∥GH， ∴∠FPH＝∠PHK＝x. 易得∠FPK＝2x，∠EPK＝90°＋2x. ∵PQ平分∠EPK， ∴∠QPK＝eq \f(1,2)∠EPK＝45°＋x. ∴∠HPQ＝∠QPK－∠HPK＝45°＋x－x＝45°. ∴∠HPQ的大小不变，∠HPQ＝45°. 　设两个未知数求定角  【例2】　如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于点E，连结AE，∠BDC＝6∠BAE，求∠AEC的度数． 【解答】 过点E在点E左侧作EF∥AB. ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF. ∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF. ∴∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠DCE. ∵∠BCD的平分线CE交BD于点E， ∴可设∠DCE＝∠BCE＝x， 则∠ABC＝2x. ∴∠DBC＝2∠ABC＝4x.设∠BAE＝y， 则∠BDC＝6∠BAE＝6y，易得∠ABD＋∠BDC＝180°， ∴2x＋6y＋4x＝180°， ∴x＋y＝30°， ∴∠BAE＋∠DCE＝x＋y＝30°. ∴∠AEC＝30°. 　求角的和、差、倍、分为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来． 【例3】　如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，GF∥DE，已知∠ACD＝90°，求2∠AGD＋∠GFE的度数． 【分析】 过拐点C，D，G分别作AB的平行线，设∠BAC＝2x， ∠CDE＝2y，其它角用x，y表示出来． 【解答】 过点C在点C左侧作CM∥AB，过点G在点G左侧作GT∥AB，过点D在点D右侧作DN∥AB. 设∠BAC＝2x，∠CDE＝2y，易得∠BAG＝∠GAC＝x， ∠CDG＝∠GDE＝y，∠BAC＋∠CDN＝∠ACD＝90°， ∴∠CDN＝90°－2x. ∴∠TGD＝∠GDN＝90°－2x－y， ∠NDE＝y－(90°－2x－y)＝2x＋2y－90°， 易证∠NDE＋∠E＝180°＝∠GFE＋∠E， ∴∠GFE＝∠NDE＝2x＋2y－90°， ∴∠AGD＝∠AGT＋∠TGD＝∠BAG＋∠GDN＝x＋90°－2x－y＝90°－x－y， ∴2∠AGD＋∠GFE＝180°－2x－2y＋2x＋2y－90°＝90°. 　求角的比值为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来． 【例4】　如图，已知AM∥BN，∠DAB＝60°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，∠ABP和∠PBN的平分线分别交射线AM于点C，D.∠DAB的平分线与∠DBN的平分线交于点H，在点P运动的过程中，∠CBN与∠AHB的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由． 【分析】 在点H左侧作HG∥AM.设∠DBN＝2x，导角可求出比值． 【解答】 设∠DBN＝2x，过点H在点H左侧作HG∥AM， ∵AM∥BN， ∴AM∥BN∥GH， 易证∠PBD＝2x，∠ABN＝120°，∠ABP＝120°－4x， BC平分∠ABP， ∴∠ABC＝∠CBP＝60°－2x， ∴∠CBN＝∠CBP＋∠PBN＝60°－2x＋4x＝60°＋2x， 易证∠AHB＝∠DAH＋∠HBN＝30°＋x， ∴∠CBN∶∠AHB＝(60°＋2x)∶(30°＋x)＝2. 1．点A，C为射线l上两点，且AB∥CD. (1)如图1，点E在线段AC上，求证：∠B＋∠D＝∠BED； (2)如图2，若点E，F在线段AC上，且∠ABE＝3∠ABF，DE平分∠FDC，∠ABE＝60°，求2∠BED－∠BFD的度数． 【解答】 (1)过点E在点E上方作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠B＝∠BEG， ∠D＝∠DEG， ∴∠B＋∠D＝∠BED； (2)100°.提示：设∠CDF＝(2α)°，易知∠A