第5章 相交线与平行线 第2讲 专题5 常用基本图形及其对应课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题五　常用基本图形及其对应 辅助线作法 A ∠BED＝∠1＋∠2 115° 方法技巧 1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角． 2．涉及角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解． 　平行线＋单拐点(＋角平分线等)模型 【例1】　如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE. (1)求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°； 【解答】 (1)如图1，过点C在点C左侧作CF∥AD， 图1 ∵AD∥BE. ∴CF∥AD∥BE， ∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°－∠B， ∴∠B＋∠ACB－∠A＝∠ACF＋∠BCF＋∠B－∠A ＝∠A＋180°－∠B＋∠B－∠A＝180°. (2)如图2，∠DAC的平分线AH的反向延长线与∠CBE的平分线相交于点Q，试探究∠C与∠AQB的数量关系． 图2 【解答】 过点Q在点Q右侧作QM∥AD， ∵BE∥AD， ∴QM∥BE， ∴∠AQM＝∠HAD，∠BQM＝∠EBQ. ∵AH平分∠CAD，BQ平分∠CBE， ∴∠HAD＝eq \f(1,2)∠CAD，∠EBQ＝eq \f(1,2)∠CBE， ∴∠AQB＝∠BQM－∠AQM＝eq \f(1,2)(∠CBE－∠CAD)． 由(1)可知∠C＋∠CBE－∠CAD＝180°， ∴∠C＝180°－(∠CBE－∠CAD)＝180°－2∠AQB， ∴2∠AQB＋∠C＝180°. 　平行线＋双拐点(＋角平分线等)模型 【例2】　如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°. (1)若∠E＝50°，求∠F的度数； 图1 【解答】 过点E在点E右侧作EM∥AB，过点F在点F左侧作FN∥AB. ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D＋∠DFN＝180°， 又∵∠D＝110°， ∴∠DFN＝70°， 易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM＝50°－20°＝30°， ∴∠EFD＝∠EFN＋∠NFD＝30°＋70°＝100°. (2)如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由． 图2 【解答】 过点E在点E右侧作EM∥AB，过点F在点F左侧作FN∥AB. ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D＋∠DFN＝180°， 又∵∠D＝110°， ∴∠DFN＝70°， ∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°＝∠MEF＋70°， ∴∠EFD＝∠BEF＋50°. 1．如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABM，∠DCM的平分线CE的反向延长线与BF交于点F.若∠M＝106°，则∠F的度数为(　　) A．37° B．44° C．54° D．35° 【解答】过点F向右作FH∥AB，过点M向左作MN∥AB，则AB∥MN∥CD∥FH， 则∠BFH＝y，∠BFE＝y－x， ∵∠BMC＝∠BMN＋∠CMN＝180°－2y＋2x＝106°， ∴y－x＝37°. ∴∠BFE＝37°. 2．(1)如图1，已知AB∥CD，直接写出∠BED，∠1，∠2之间的数量关系为 ； (2)如图2，已知AB∥CD，写出∠1，∠EGH与∠2，∠BEG之间数量关系，并加以证明； (3)如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1，∠3，∠5与∠2，∠4，∠6之间的关系． 【解答】(1)∠BED＝∠1＋∠2； (2)∠1＋∠EGH＝∠2＋∠BEG，理由如下：如图2，过点E在点E右侧作EF∥AB，过点G在点G左侧作GM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥GM∥CD， ∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGM，∠MGH＝∠2， ∴∠1＋∠EGM＋∠MGH＝∠BEF＋∠FEG＋∠2， 即∠1＋∠EGH＝∠2＋∠BEG； (3)由题可得，开口向左的角度数之和与开口向右的角度数之和相等， ∴∠1，∠3，∠5与∠2，∠4，∠6之间的关系为 ∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4＋∠6. 3．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°. (1)求∠F的度数； (2)计算∠B－∠CGF的度数是 (直接写出结果)； (3)连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样的数量关系时，BC∥AD？并说明理由． 【解答】 (1)∵AF∥DE， ∴∠F＋∠E＝180°. ∴∠F＝180°－105°＝75°； (2)过点C在点C左侧作MC∥AF， ∵AF∥DE， ∴AF∥CM∥DE， ∴∠BC