5.2.2 平行线的判定 第2讲 运用“中间等角”导角证两线平行 课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

第五章　相交线与平行线 第2讲　相交线与平行线 专题四　 运用“中间等角”导角证两线平行 ∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＝360° 　利用同角或等角的余角(或补角)相等导角 【例1】　如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC. (1)求证：AB∥CD； (2)若∠AGE＋AHF＝180°，且∠BFC－30°＝2∠C，求∠B的度数． 【解答】(1)∵∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC. 又∵∠AGE＝∠DGC， ∴∠AEG＝∠DCG， ∴AB∥CD； (2)∵∠AGE＋∠AHF＝180°，且∠AGE＋∠EGH＝180°， ∴∠EGH＝∠AHF， ∴CE∥BF， ∴∠BFC＋∠C＝180°. 又∵∠BFC－30°＝2∠C，解得∠BFC＝130°. 由(1)得AB∥CD， ∴∠B＝180°－∠BFC＝180°－130°＝50°. 　运用等式的性质证角相等 【例2】　如图，点B在AC上，AB∥EF，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF与BE平行吗？为什么？ 【解答】 AF∥BE，理由： ∵AB∥EF(已知)， ∴∠1＝∠BFE(两直线平行，内错角相等)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠2＝∠BFE(等量代换)． ∵∠3＝∠4(已知)， ∴∠3＋∠BFC＝∠4＋∠BFC(等式性质)， 即∠AFC＝∠BFE， ∴∠AFC＝∠2(等量代换)， ∴AF∥BE(同位角相等，两直线平行)． 　反复运用平行线的判定与性质导角 【例3】　如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：AB∥CD. 【解答】 ∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠4(对顶角相等)， ∴∠2＝∠4(等量代换)， ∴CE∥BF(同位角相等，两直线平行)， ∴∠3＝∠C(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠B＝∠C(已知)， ∴∠3＝∠B(等量代换)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 　作适当的辅助线构造中间等角 【例4】　如图，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：∠EFM＝∠M. 【解答】 延长EF，交CD于点Q， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EQD. ∵∠1＝∠2， ∴∠EQD＝∠2， ∴QE∥MN， ∴∠EFM＝∠M. 1．如图，F，E，A，C四点在同一条直线上，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，判断ED与FB的位置关系，并说明理由． 【解答】 ED∥FB. 理由： ∵∠3＝∠4， ∴BD∥CF. ∴∠5＝∠BAF. 又∵∠5＝∠6， ∴∠BAF＝∠6. ∴AB∥CD. ∴∠2＝∠EHA. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠EHA， ∴BF∥DE. 2．如图，在三角形ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D，E分别在CA，BA的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E. (1)求证：DB∥EC； (2)若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°，求∠D的度数． 【解答】 (1)∵AH平分∠BAC， ∴∠BAH＝∠HAC. ∵BD∥AH， ∴∠D＝∠HAC， ∴∠D＝∠BAH， 而∠D＝∠E， ∴∠E＝∠BAH， ∴AH∥EC， ∴DB∥EC； (2)设∠ABC＝x，则∠ABD＝2∠ABC＝2x， ∵DB∥AH， ∴∠AHC＝∠DBC＝3x， ∵∠DAB＝∠AHC＋5°， ∴∠DAB＝3x＋5°， ∵∠HAC＝∠BAH＝∠ABD＝2x， 且∠DAB＋∠BAC＝180°， ∴3x＋5°＋4x＝180°，解得x＝25°， ∴∠D＝∠HAC＝2x＝50°. 3．如图，点D在线段AB上，点E，F，H在线段BC上，DF∥AC，若∠1＝∠2，判断DE与AH的位置关系，并说明理由． 【解答】 DE∥AH.理由如下： 延长AH，DF交于点G， ∵DF∥AC， ∴∠2＝∠G. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠G， ∴DE∥AH. 4．如图是一个汉字“互”字，其中点M在AB上，点N在CD上，点G在ME上，点F在NH上，GH∥EF，∠1＝∠2，∠MEF＝∠GHN. (1)求证：∠MGH＝∠GHN； (2)求证：AB∥CD. 【解答】(1)∵GH∥EF， ∴∠MEF＝∠MGH. 又∵∠MEF＝∠GHN， ∴∠MGH＝∠GHN； (2)方法一：延长ME交CD于点T. ∵∠MGH＝∠GHN， ∴ME∥HN. ∴∠MTD＝∠2. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠MTD， ∴AB∥CD； 方法二：连接MN， ∵∠MGH＝∠GHN， ∴ME∥HN. ∴∠EMN＝∠MNH. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠EMN＝∠2＋∠MNH，即∠AMN＝∠MND. ∴AB∥CD. 5.如图，已知AF∥CD，∠A＝∠D，∠B＝∠E. (1)直接写出∠A，∠B，∠C的数量关系为 ； (2)求证