微专题1切割线放缩-突破函数与导数系列2024届高三数学二轮复习

2024届高三二轮复习微专题系列 突破函数与导数系列—一微专题1切割线放缩 知识~梳理 函数的凸性与切割线放缩： (I)下凸函数：如图1，对于函数x),若在其图象上任取两点A(1,),B (2,x2),除端点外，线段AB始终在函数x)的图象的上方，在x)的图象上 任取点C(xo,xo》,函数fx)在点C处的切线y=fxox一xo)十xo)除切点外，始 终在)图象的下方，我们称x)为下凸函数，满足()≥0的函数)为下凸函 数.对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，x)≥f(xo)x一xo)十xo),当x∈(， x2)时，fx)f(xl)一f(x2)xl一x2x一)+f). (2)上凸函数：如图2，对于函数x),若在其图象上任取两点A,x)》,B (x2,x2),除端点外，线段AB始终在函数x)的图象的下方，在x)的图象上 任取点C(o,xo),函数)在点C处的切线y=f(xo)x一xo)十xo)除切点外，始 终在x)图象的上方，我们称x)为上凸函数，满足"(x)≤0的函数x)为上凸函 数对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，x)≤fxo)x一xo)十xo),当x∈(： 2)时，)>f(x1)一f(x2)x1一x2(x一)+x) 图】 图2 考点·分类突破 精选考点典例研析技法重悟通 课堂演练 考点一切线放缩证明不等式 例1(2023·武汉质检)已知函数x)=e*-x2, (1)求曲线(x)在x=1处的切线方程： (2)求证：当x>0时，ex+(2一e)x-1x≥nx+1. (1)解由题设得fx)=e-2x ∴.f(1)=e1-2×1=e-2,f(1)=e-1, 所以曲线x)在x=1处的切线方程为 y-1)=f(1)x-1), 即y=(e-2)x+1. 2024届高三二轮复习微专题系列 (2)证明要证当x0时，ex+(2-e)x-lx≥lnx+1, 即证c+(1-e)x-xnx-1≥0， 因为0)=1，且曲线fx)在x=1处的切线方程为y=(e一2)x十1 故可猜测：当0且x≠1时，x)的图象恒在切线y=(e一2)x十1的上方， 下面证明：当0时，x)≥(e一2x+1, 设p(x)=x)-(e-2)x-1(x>0), 则p'x)=e-2x-(e-2) 令Fx)=p'x),F(x)=e-2, 当x∈(0，ln2)时，F(x0,p'(r)单调递减： 当x∈(n2,+∞)时，F()>0,p(x)单调递增， 又p'(0)=3-e>0,p'n20,0lh2<1,p'(1)=0, 所以存在o∈(0,1)使得0'(x)=0, 所以当x∈(0，xo)U(1,+∞)时，p'(x)P0: 当x∈(xo,1),p'(x)大0， 故p(x)在(0，x0),(1,十∞)上单调递增， 在(xo,1)上单调递减， 又p(0)=p(1)=0, 所以g(x)=e-x2-(e-2x-1≥0（当且仅当x=1时取等号）， 故ex+(2-e)x-lx≥x(x0) 设t(x)=x-lnx-1(c>0),f(x)=1一1x, 当x∈(0,1)时，(x)0,x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，x)0,t(x)单调递增， 所以t(xmm=(I)=0, 从而有x)=x一nx一1≥0即x≥nx+1(当且仅当x=1时取等号) 所以ex+(2-e)x-lx≥x≥lnx+1, 即ex+(2-e)x一lx≥nx十1（当且仅当x=1时等号成立）. [技法总结]切线放缩证明不等式的原理：f(x)≥|切≥g(x)或f(x)≤|物≤g (x). 2024届高三二轮复习微专题系列 训练1已知fx)=er+cos2x+2xr2+x一2. (1)求x)在x=0处的切线： (2)求证：fx)≥ln(2xr+1). (1)解由题意知fx)=e-2sin2x+4x+1,则f0)=2,而f0)=0, 所以x)在x=0处的切线方程为 y-0=2(x-0),即y=2x (2)证明因为0)=0，且曲线x)在x=0处的切线方程为y=2x, 故可猜测，x)的图象恒在切线y=2x的上方， 先证x)≥2x,令g)=)-2x=er+cos2x+2x2-x-2, g'(x)=e*-2sin 2x+4x-1, g"(x)=e*-4cos2x十40恒成立， .g(x)单调递增，又g(0)=0, 易知g(x)≥g(0)=0,∴.x)≥2（当且仅当x=0时等号成立）. 再证2x≥1n(2r+1), 4h(x)=2x-In(2x+1)alvs4lallcol(x>-f12)), h(x)=2-22x+1=4x2.x+1, 令h(x)=0,解得x=0. 当x0时，(x)>0, 则(x)在(0，+∞)上单调递增： 当-120时，'(x)0, 则h(x)在1aivs41alco1(-/12),0)上单调递减， 所以hx)≥0)=0， 即2x≥n(