第五章 相交线与平行线 专题02 垂线 专题 课件2023-2024学年人教版数学七年级下册

第五章 相交线与平行线 第1讲 相交线 专题二 垂线 C BF CE 20 或125 垂线的画法与计算 【例1】 如图,在 ABC中,AB=39,BC=25,AC=56,过点A作BC的垂线交CB延长线于点D. (1)过点B作AC的垂线,垂足为点E;过点C作AB的垂线,垂足为点F,画出图形; (2)若AD=eq \f(168,5),求BE,CF的长; (3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征? 【解答】 (1)如图;(2)S ABC=eq \f(1,2)AB CF=eq \f(1,2)BC AD=eq \f(1,2)AC BE, 39CF=25 eq \f(168,5)=56BE,解得BE=15,CF=eq \f(280,13); (3)发现三条垂线交于一点. 【例2】 在 ABC中,BC=6,AC=3,过点C作CP⊥AB,垂足为点P,则CP长的最大值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解答】 根据垂线段最短可知PC≤3, ∴CP长的最大值为3,故选C. 【例3】 如图,直线AB与直线CD交于点O,过点O作OE⊥AB. (1)如图1,OP为∠AOD内的一条射线,若∠1=∠2,求证:OP⊥CD; (2)如图2,若∠BOC=2∠AOC,求∠COE的度数; (3)如图3,在(2)的条件下,过点O作OF⊥CD,经过点O画直线MN,若射线OM平分∠BOD,请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角. 【解答】(1)∵OE⊥AB, ∴∠AOE=90 , ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90 , ∴OP⊥CD; (2)∵∠BOC=2∠AOC, ∴∠AOC=60 , ∵∠AOE=90 , ∴∠COE=30 ; (3)与2∠EOF度数相等的角有∠BOC,∠EOM,∠AOD,∠NOF. 运用方程思想求与垂直有关的角度问题 【例4】 直线AB,EF交于点O,OC⊥AB,OM平分∠EOB,若∠COM=2∠EOC,求∠AOE的度数. 【解答】 设∠EOC=x,则∠COM=2x. ∵OM平分∠EOB, ∴∠EOM=∠MOB=3x. ∵OC⊥AB, ∴∠AOC=∠BOC=90 . 又∵∠COM+∠MOB=∠COB, ∴2x+3x=90 ,x=18 , ∴∠EOC=18 ,∠AOE=90 -∠EOC=72 . 整体思想求角 【例5】 如图,∠AOB=120 ,OC⊥OD,OE平分∠DOB,OM平分∠AOC,OM的反向延长线为射线ON.求∠EON的度数. 【解答】 设∠AOC=2x,∠DOB=2y. ∵OE平分∠DOB,OM平分∠AOC, ∴∠AOB=2x+2y+90 =120 , x+y=15 ,∠MOE=∠MOC+∠DOE+∠COD=x+y+90 =105 . ∴∠EON=180 -∠MOE=75 . 分类讨论思想求角 【例6】 如图,OA⊥OB,OD为∠AOB内一条射线,存在点E,F,使∠AOE=∠DOE,∠DOF=∠BOF.求∠EOF的度数. 【解答】 设∠AOE=∠DOE=x,∠DOF=∠BOF=y, ①当OE,OF都在∠AOD,∠BOD的内部时(图中OE1,OF1的位置), 则∠AOB=2x+2y=90 ,x+y=45 , ∴∠E1OF1=x+y=45 ; ②当OE在∠AOD内部,OF在∠BOD的外部时, 此时OF在①中OF1的反向延长线上(图中OE1,OF2的位置), 此时∠E1OF2=180 -∠E1OF1=135 ; ③当OE,OF都在∠AOD,∠BOD的外部时(图中OE2,OF2的位置), 易得∠E2OF2=∠E1OF1=45 ; ④当OE在∠AOD外部,OF在∠BOD的内部时(图中OE2,OF1的位置), 易得∠E2OF1=180 -∠E1OF1=135 . 综上所述,∠EOF=135 或45 . 1.如图,图中已标明了三组互相垂直的线段,那么点A到BC的距离是线段AD的长度,点B到AC的距离是线段 的长度,点C到AB的距离是线段 的长度.若BF=3cm,CF=4cm,BC=5cm,则F到BC边的距离为 cm. eq \f(12,5) 2.在同一平面内,若∠A与∠B的两边分别垂直,且∠A比∠B的3倍少40 ,则∠A的度数为 . 3.如图,直线AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,OF⊥CD,OG⊥OE, ∠BOD=52 . (1)求∠AOF的度数; (2)∠EOF与∠BOG是否相等呢?请说明理由; (3)直接写出图中∠AOE的所有余角. 【解答】 (1)∠AOF=38 ; (2)相等,理由: ∵∠AOC与∠BOD是对顶角, ∴∠AOC=∠BOD=52 . ∵OE是∠AOC的平分线, ∴∠AOE=eq \f(1,2)∠AOC=26 . 又∵OG⊥OE, ∴∠EOG=90 . ∴∠BOG=180 -∠AOE-