9.1～9.5整式乘法与因式分解 复习讲义 2023-2024学年苏科版七年级数学下册

9.1~9.3 代数式乘法 【课程导航】 1.单项式乘单项式的法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 例如：3x2y·(－2xy3z)＝[3×(－2)]·(x2·x) (y·y3)·z＝－6x3y4z. 此法则是进行单项式乘法运算的依据，它共分为三部分：一是系数的运算；二是相同字母的幂；三是对只在一个单项式中出现字母的处理.这样便于理解、记忆. 提示： ⑴先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值； ⑵相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”； ⑶对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，应特别注意不能遗漏掉这部分因式； ⑷单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行，如：(2xy2)2 ·(－3x2y)＝4x2y4·(－3x2y)＝－12x4y5 ⑸单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算，如:2(x＋y)·(x＋y)n＝2(x＋y)n＋1； ⑹对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用，如2a·3b·6c＝(2×3×6)abc＝36abc 注意: 单项式乘单项式的运算，如果含有乘方运算，应先乘方，然后利用单项式与单项式相乘的法则进行计算.用科学记数法表示数的乘法可以理解成单项式与单项式相乘，最后结果要符合科学记数法. 2.单项式与多项式相乘的法则 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 即单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 【锦囊妙计】 ⑴单项式乘多项式的根据是乘法对加法的分配律，利用分配律可以把单项式与多项式相乘转化成单项式与单项式相乘. ⑵单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按其某一字母的降幂(或升幂)进行排列. ⑶计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号. ⑷对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果. 【典型例题】 例1.若x2y3＜0，化简－2xy·|－x5(－y)7|. 思路点拨：由已知条件x2y3＜0得y＜0.又x可取正数，也可取负数，所以需分两种情况进行化简. 解答：解：因为x2y3＜0，所以x≠0，y＜0所以应分x＞0和x＜0两种情况化简. 当x＞0时，原式＝－2xy·|x5y7|＝－2xy·(－x5y7)＝x6y8， 当x＜0时，原式＝－2xy·|x5y7|＝－2xy·x5y7＝－x6y8. 注意： 绝对值的化简问题，必须先弄清楚绝对值符号里面的数是正数、0还是负数，然后根据绝对值的意义进行化简. 例 2.计算：⑴(－4x)·(2x2＋3x－1)； ⑵(ab2－2ab)·ab. 思路点拨：根据单项式与多项式相乘的法则进行计算. 解答：解：⑴(－4x)·(2x2＋3x－1)＝(－4x)·(2x2)＋(－4x)·(3x)＋(－4x)·(－1)＝－8x3－12x2＋4x. ⑵(ab2－2ab)·ab＝(ab2)·ab＋(－2ab)·ab＝a2b3－a2b2 例3.计算：(－2x3y)·(3xy2－3xy＋1) 思路点拨：单项式为2x³y，应注意符号；多项式里含有三项3xy²、－3xy、1，所以乘积的结果只有3项，特别是“1”不能漏掉. 解答：解： 原式＝(－2x3y)·3xy2＋(－2x3y)·(－3xy)＋(－2x3y)·1 ＝－6x4y3＋6x4y2－2x3y ＝ 例 4.先化简，再求值：x2(x2－x＋1)－x(x3－x2＋x－1)，其中x＝ 解答：解：x2(x2－x＋1)－x(x3－x2＋x－1)＝x4－x3＋x2－x4＋x3－x2＋x＝x 当x＝时，原式＝. 例5. 某工厂生产一种产品的定价为a元，而其销售量为每天(2b＋20)件，试问该工厂这种产品一年(365天)的营业额为多少？ 思路点拨：根据“营业额＝定价×每天销售件数×天数”可列出一个简单的单项式乘多项式的式子. 解答：解：营业额为a·(2b＋20)·365＝730ab＋7300a(元) 答：这种产品一年的营业额为(730ab＋7300a)元. 例6. 计算：⑴(2x－3) (x＋4)；⑵(3x＋y)(x－2y)；⑶(2a－3b) (a＋5b)；⑷(a＋b)2 思路点拨：⑴⑵⑶题可直接根据多项式乘多项式的法则进行计算，应注意各项的符号.第⑷题(a＋b)²可先转化成(a＋b)(a－b)，再利用法则计算. 解答：解：⑴(2x－3)(x＋4)＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12 ⑵(3x＋y)(x－2y)＝3x2－6x