专题19.1 变量与函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.1 变量与函数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】常量与变量 1. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 特别提醒： （1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速直线运动中的速度u就是一个常量. （3）判断一个量是不是变量，关键是看在变化过程中其数值是否发生变化. 【知识点二】函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值.y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 特别提醒：对函数概念的理解： （1）有两个变量； （2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化； （3）对于自变量x每一个确定的值，函数y有且只有一个值与之对应.例如y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数.而对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如函数y=l x l，当x=±1时，y的值都是1. 【知识点三】函数自变量取值范围 函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体. 1.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合实际意义. 2.自变量的取值范围可以是无限的，有也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数.在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分. 【知识点四】函数值 如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 【知识点五】函数解析式 像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式. 特别提醒： 1. 函数式两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值. 2.一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少. 【考点目录】 【考点1】函数及相关概念； 【考点2】函数的解析式； 【考点3】函数自变量取值范围和函数值； 【考点4】用表格法表示变量之间的关系； 【考点5】用关系式法表示变量之间的关系； 【考点6】用图象法表示变量之间的关系； 【考点1】函数及相关概念； 【例1】下表是某城市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高： 年龄组（岁） 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平均身高 117 121 125 130 135 142 148 155 162 167 170 172 观察此表，回答下列问题： （1）该市14岁男学生的平均身高是多少？ （2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？ （3）这里反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？ 【答案】（1）；（2）11 岁；（3）年龄和身高，年龄，身高 【分析】（1）根据表格中的数据，可直接回答；（2）求出每年的增加数，进行比较即可； （3）根据变量的关系确定自变量和因变量即可． 解：（1）由表中数据可得：该市14岁男学生的平均身高是； （2）该市男学生的平均身高每年增加依次为：4、4、5、5、7、6、7、7、5、3、2； 故该市男学生的平均身高从 11 岁开始增加特别迅速． （3）这里反映了年龄和身高两个变量之间的关系，其中身高随着年龄的变化而变化，故年龄是自变量，身高是因变量． 【点拨】本题考查函数的表示方法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件解答． 【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 解：A、  表示y不是x的函数，该选项不符合题意的； B、  表示y是x的函数，该选项是符合题意的； C、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； D、  表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的； 故选：B． 【点拨】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 【变式2】小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8 电表读数/度 21 24 28 33 39 42