专题19.7 正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.7 正比例函数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.例如等y=x，y=-3x都是正比例函数 【知识点二】待定系数法求正比例函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k的函数解析式y=kx（k≠0）. （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程. （3）解方程，求出待定系数k. （4）将求得的待定系数k的值代入解析式. 【知识点三】正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过原点（0,0）的一条直线. k的符号 函数图像 图象的位置 增减性 k＞0 图象过第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小 【考点目录】 【考点1】正比例函数的定义； 【考点2】求正比例函的解析式； 【考点3】正比例函数的图象； 【考点4】正比例函数的性质； 【考点5】正比例函数图象与性质综合； 【考点1】正比例函数的定义； 【例1】下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． （1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1）不是正比例函数；（2）不是正比例函数；（3）是正比例函数，正比例系数是2 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的一般形式为判断即可． （1）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （2）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （3）先去括号化简，根据正比例函数的一般形式为判断即可． （1）解：不是正比例函数． （2）解：不是正比例函数． （3）解：，是正比例函数，正比例系数是2． 【变式1】下面哪个函数是正比例函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义逐项判断即可，解题关键是掌握正比例函数形如，正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 解：、是反比例函数，不符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 、是正比例函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 【变式2】若函数是正比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，由正比例函数的定义得且，求出的值即可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得，， 故答案为：3． 【考点2】求正比例函的解析式； 【例2】已知y与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设正比例函数为，将，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，计算求解即可． （1）解：设正比例函数为， 将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为． 【变式1】已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（  ） A． 或0 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数． 解：∵函数，（m ，n是常数）是正比例函数， ∴， 解得，， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式． 【变式2】已知与成正比例，且当时，，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例的定义，待定系数法求正比例函解析式，设正比例函数解析式为，根据时，，代入求解出k的值即可． 解：设正比例函数解析式为， ∵当时，， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为：， 故答案为：． 【考点3】正比例函数的图象； 【例3】已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且． （1）求正比例函数解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，再把代入即可求出的值； （2）设出点坐标，表示出，然后根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程得到n值，结合点P的位置，可得结果． （1）解：设正比例函数为， ， ，解得， 正比例函数的解析式为：． （2）设， ， ， ． ， ， 或，