第5章相交线与平行线——相交线 专题培优课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册

第五章　相交线与平行线 第1讲　相交线 专题一　相交线 6 ∠AOD，∠COB ∠AOD，∠COB，∠EOD，∠COF 邻补 3 6 15 2 6 12 　对顶角与邻补角的概念 【例1】　如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O. (1)图中有 对对顶角； (2)∠AOC的邻补角是 ； (3)若OC平分∠AOE，写出图中与∠AOC互补的所有角： ，由此可以说明，若两个角有一条公共边，并且它们互补，但它们不一定是 角． 　对顶角、邻补角的性质 【例2】　如图，直线a，b，c两两相交，∠3＝2∠1，∠2＝x°， |x－155|＝－|310－2x|，求∠4的度数． 【分析】 利用绝对值的非负性求x，利用邻补角和对顶角性质求∠4. 【解答】 ∵|x－155|＝－|310－2x|， ∴|x－155|＋|310－2x|＝0， ∵|x－155|≥0，|310－2x|≥0， ∴|x－155|＝0，|310－2x|＝0，x＝155， ∴∠2＝x°＝155°，∠1＝180°－∠2＝25°(邻补角定义)， ∠3＝2∠1＝50°， ∴∠4＝∠3＝50°(对顶角相等)． 【例3】　如图，直线AB和直线CD相交于点O，已知OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，OF平分∠BOE. (1)若∠BOD＝80°，求∠BOE的度数； (2)若∠BOF＝∠AOC＋14°，求∠EOF的度数． 【解答】(1)150°； (2)设∠AOE＝3x，则∠COE＝5x， ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝8x， ∵∠BOF＝∠AOC＋14°， ∴∠BOF＝8x＋14°， ∵OF平分∠BOE， ∴∠BOE＝2∠BOF＝16x＋28°， ∵∠BOE＋∠AOE＝180°， ∴16x＋28°＋3x＝180°，解得x＝8°， ∴∠EOF＝∠BOF＝78°. 【例4】　如图，直线AB，CD交于点O，∠EOA＝150°，∠EOH＝eq \f(1,3)∠EOD. ∠BOF＝eq \f(1,3)∠BOC，求∠HOF的度数． 【解答】 设∠AOD＝3x，则∠BOC＝∠AOD＝3x，∠EOD＝150°－3x， ∠EOH＝eq \f(1,3)∠EOD＝50°－x，∠BOF＝eq \f(1,3)∠BOC＝x， ∴∠HOF＝∠HOE＋∠EOB＋∠BOF＝50°－x＋30°＋x＝80°. 　分类讨论思想求角 【例5】　如图，直线AB和CD相交于点O，OE在∠AOC内部，存在点F使∠EOF＝∠BOF，若∠BOF＝∠AOE＋45°，求∠BOF的度数． 【分析】 分OF在∠EOB的外部或内部两种情形讨论． 【解答】 设∠AOE＝x. ①当OF在∠EOB外部时，∠AOF1＝∠EOF1－∠AOE ＝∠BOF1－∠AOE＝45°， ∴∠BOF1＝180°－∠AOF1＝135°. (2)当OF在∠EOB内部时， ∠BOF2＝∠EOF2＝∠AOE＋45°＝x＋45°， 又∠AOE＋∠EOF2＋∠F2OB＝180°， ∴x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，x＝30°. ∴∠AOE＝x＝30°，∠BOF2＝∠AOE＋45°＝75°. 故∠BOF＝75°或135°. 　相交线的规律探究问题 【例6】　l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点．如果在这个平面内再画第3条直线l3，那么这3条直线最多可有 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有 个交点．由此可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点；n(n为大于1的正整数)条直线最多可有　 　个交点(用含n的代数式表示)． eq \f(nn－1,2) 【分析】 画图找规律. 直线条数 交点个数 1 0 2 1 3 1＋2 4 1＋2＋3 5 1＋2＋3＋4 … … n 1＋2＋3＋4＋…＋(n－1) 【解答】 如表所示． 因为1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq \f(nn－1,2)， 所以平面内有n条直线，最多可有eq \f(nn－1,2)个交点． 1．观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)： (1)如图1，图中共有 对对顶角；如图2，图中共有 对对顶角；如图3，图中共有 对对顶角； (2)研究(1)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？ (3)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？ 【解答】 (2)2×(2－1)＝2，3×(3－1)＝6，4×(4－1)＝12， 所以若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对