专题05解析几何专练-2024届高三数学二轮专题复习（老高考适用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（老高考适用） 专题05 解析几何 题型训练 1. （2023·全国甲卷·理科）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 2. （2023·全国乙卷·理科）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 3. （2022·全国甲卷·理科）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 4. （2022·全国乙卷·理科）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 5. （2023•山西忻州一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且点A（2，1）在C上． （1）求双曲线C的方程； （2）若点M．N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值． 6. （2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 7. （2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点. (1)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8. （2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 9. （2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点． 10. （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求证：为定值． 11. （2023•山西大同·统考模拟）已知椭圆C1：的离心率为，并且直线y＝x+b是抛物线C2：y2＝4x的一条切线． （Ⅰ）求椭圆C1的方程． （Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由． 12. （2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.    (1)求的方程； (2)求证：. 13. （2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 14. （2023•青海西宁二模）已知双曲线W：的左、右焦点分别为F1、F2，点N（0，b），右顶点是M，且，∠NMF2＝120°． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点Q（0，﹣2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 15. （2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值. 答案&解析 【1】 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【2】 【答案】(1) (2)证明见解析. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，