专题03 三角函数与解三角形 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（老高考适用） 专题03 三角函数与解三角形 题型训练 1. (2023·全国乙卷·理科)在中，已知，，． (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积． 2. (2022·高考全国乙卷·理)记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 3. （2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. (1)求的取值范围； (2)若，求三角形ABC面积的取值范围. 4. （2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且 (1)求； (2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围． 5. （2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 6. （2023·陕西商洛·山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.    (1)求； (2)若，求BC. 7. （2023·四川绵阳·校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 8. （2023·云南·联考模拟预测）的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 9. （2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，的内切圆半径，求的面积． 10. （2023·海南海口·校联考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足. (1)求的值； (2)若，求的面积. 11. （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9. 12. （2023·河南·模拟预测）设中，、、所对的边分别为、、，且有. (1)若，证明：； (2)若，比较和的大小关系，说明理由. 13. （2023•云南曲靖•麒麟区模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：2acosA﹣bcosC＝ccosB这三个条件中选择一个作为已知条件． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围． 14. （2023·云南大理·校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 15. （2023·山西运城·校考阶段练习）中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知. (1)求； (2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度. 条件①：；条件②：；条件③：. 答案&解析 【1】 【答案】(1)； (2)．【解析】(1)由余弦定理可得： ， 则，， ． (2)由三角形面积公式可得， 则． 【2】 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即，所以； 【小问2详解】 解：因为， 由(1)得由余弦定理可得， 则，所以， 故，所以，所以的周长为． 【3】 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，且都为锐角，所以， ， 所以，由正弦定理可得， 又，所以， 整理得，即有， 所以，即，所以. 在锐角三角形中，,且，所以； 令，则，， 令，则， 因为，所以，所以为增函数， 又，所以，即的取值范围是. （2）由（1）得. 因为，由，得； 设三角形ABC的面积为,则 ， 因为，所以， 设，，，，为减函数， 所以，所以. 【4】 【答案】(1) (2) 【解析】（1）方法一：由，结合二倍角公式可得，， 即. 若，则，于是， 根据正弦函数在上递增可得， ，类似的有， 于是， 这与矛盾； 若，则，于是， 根据正弦函数在上递增可得， ， 类似的有，于是， 这与矛盾； 若，即，此时确实成立. 综上所述，. 方法二：将代入可得 ， 再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得 所以， 即， 再由和差化积公式可得： ， 所以 不妨设，则， 所以， 即，又，所以， 可得，所以. （2） 由题意，折叠后的几何体如下，设，则 在中，若，由余弦定理得，. 下以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴. 设，则，，由 ① ② ③， 由①②解得：， 由①③解得：， 根据线面角的定义，（不妨取是正数）， 则与平面所成角正弦值为. 记，则， 注意到，于是， 又 ，而， 故，