专题01数列及其应用专练-2024届高三数学二轮复习（老高考适用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（老高考适用） 专题01 数列及其应用 题型训练 1. (2023·全国甲卷·理科) 设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2. （2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3. (2022·全国甲卷·理科) 记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 4. （2023•全国四模）已知数列{an}的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 5. （2023•陕西宝鸡·区模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，2a2+a5＝21，S9＝99． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：． 6. （2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 7. （2023•内蒙古赤峰·模拟）①函数f（x）对任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{an}满足，令． ②数列{an}中，已知，对任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令． 在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）数列{an}是等差数列吗？请给予证明． （2）设Tn＝b1+b2+…+bn，，试比较Tn与Mn的大小． 8. （2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值． 9. （2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)定义，记，求数列的前20项和． 10. （2023·陕西西安·校考三模）已知数列是等差数列，，且、、成等比数列．给定，记集合的元素个数为． (1)求、、的值； (2)设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明. 11. （2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立. (1)若，，求； (2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值. 12. （2023·青海西宁·校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为． (1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； (2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 13. （2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）. 14. （2023·山西忻州·模拟预测）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值. 15. （2023•四川绵阳·校考一模）设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足（t∈R，n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列； （3）当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100． 答案&解析 【1】 【答案】(1) (2) 解析：(1)因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． (2)因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 【2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【3】 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解析】(1)