17.1 勾股定理实际应用（1）专项练习 2023--2024学年人教版八年级数学下册

2023-2024学年八年级下勾股定理实际应用（1） 一、解答题 1．在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点C，使三角形满足如下条件.（仅用直尺作图） （1）在网格①中作一个等腰三角形； （2）在网格②中作一个直角三角形，使两直角边的长为无理数. 2．如图，每个小正方形的边长都为1. （1）填空____________；____________. （2）是直角吗？如果是，请证明，如果不是请说明理由； （3）直接写出点D到的距离. 3．阅读下列材料： 小明遇到这样一个问题：在中，，分别为，，，求的面积. 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形的顶点处），借助网格就能计算出的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法. 请回答： （1）图1中的面积为__________. 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1） ①利用构图法在图2中画出三边长分别为，，的格点. ②的面积为_____________. （3）如图3所示，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接.若，，，求六边形的面积. 4．下面各图都是边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的边所在直线的交点称为格点，若两个格点间的距离是无理数，则称该无理数为这两个格点的“无理间距”. 例如，图①中无理间距有，共有1个（数值相等的，不重复计数，下同）；图②中无理间距除了外，还有，，共有个. 观察图形，解决下面问题： （1）图③中无理间距应有个，除了，，外，还有________________； （2）请在图③中画出端点为格点的线段，使它们的长度分别为你在（1）中所填的无理间距.（每个无理间距画一条线段即可） 5．在学习了《勾股定理》和《实数》后，八年级同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了的面积. 图1 图2 图3 (1)在图1中，所画出的的三边长分别是　　，　　，　　；的面积为　　. (2)在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积为　　. (3)若中有两边的长分别为，，且的面积为2，请直接写出它的第三条边长. 6．作图题：如图是每一个小方格都是边长为1的正方形网格. （1）利用网格线作图：①在上找一点，使点到和的距离相等；②在射线上找一点，使． （2）在（1）中连接与，试说明是直角三角形. 7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图（1）），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今. （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理.（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图（4），（5），（6），以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有__________个； ②如图（7）所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明. 8．公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法.李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形. （1）图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________. （2）求图1中直角三角形的斜边长. 9．回看古人数学成就，领略数学先贤智慧.认真阅读并理解下面的材料，完成填空. 材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”.在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理.在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.成书于公元前1世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为3，较长直角边的长度为4，斜边的长度则为5（