圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线：有关椭圆的6类小题总结 题型一：轨迹类 例1.(1.定义类)在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ） A． B． C． D． 例2.(2.定义类+几何类)设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； 例3.（3.代数类）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程. 练习1.已知动点满足(为大于零的常数)﹐则动点的轨迹是（ ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 练习2.已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________ 练习3.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， （1）求E的方程； 题型二：利用椭圆定义求范围 若表示椭圆，则 若表示焦点在轴上的椭圆，则 若表示焦点在y轴上的椭圆，则 例1.（多选题）已知曲线 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 练习1.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A．B．C．D． 练习2.是方程表示椭圆的（ ）． A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 题型三：顶角最大问题 在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的角,这两个最大张角有重要的应用,相关结论及证明如下: 结论1:已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图所示,设,,则:,,所以.(当时取等号)由余弦定理得： .当即时取等号,所以当时,的值最小,又因为,所以此时最大.即点为椭圆短轴的端点时最大 结论2:已知,为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图,设,过点作,垂足为,则,,,所以,,则 因为，所以又因为，所以当时，取得最大值，此时最大. 即当点为椭圆短轴的端点时，最大. 【例1】若 是椭圆 上任意一点, 是焦点, 则 的最大值为________. 【例2】 已知椭圆，是它的两个焦点，点为其上的动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【例3】已知椭圆 长轴两端点为 , 如果椭圆上存在 点使得 , 则椭圆的离心率的取值范围是________. 【例4】设 是椭圆 长轴的两端点, 若 上存在点 满足 , 则 的取值范围是（ A. B. C. D. 练习1. 已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是 . 练习2.已知 为椭圆 上一点, 是其左右焦点, 取最大时 ,则椭圆的离心率为_________. 练习3.焦点在 轴上的椭圆方程为 是椭圆的两个焦点, 若椭圆上存在点 , 使得 , 那么实数 的取值范围是________. 练习4.设 是椭圆 的两个焦点, 若 上存在点 满足 , 则 的取值范围是（ ） 题型四：焦点三角形面积公式 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 【例1】已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 题型五：定义与几何优先 【例1】 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【例2】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（       ） A． B． C． D． 【例3】、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点