专题08平面向量重点题型复习（4知识点+7题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题8：平面向量重点题型复习 平面向量重点题型 题型一：平面向量的概念 题型二：平面向量平行的判断与性质 题型三：平面向量的线性运算 题型四：“无坐标型”平面向量平行、垂直、模和夹角的计算 题型五：“有坐标型”平面向量加减、数乘、平行、垂直、模和夹角的计算 题型六：平面向量在几何中数量积计算 题型七：平面向量在三角形四心和奔驰定理应用 一、知识点梳理 知识点一：向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示法 ①有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． ②向量的表示方法：字母表示法：如等. （3）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 （4）零向量：长度为0的向量，记作；其方向是任意的． （5）单位向量：长度等于1个单位的向量． （6）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （8）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2. 向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1)(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 3.向量共线定理与性质 （1） 向量共线定理：如果且，则； （2） 向量共线性质：且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论： ①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ②向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且 4. 向量三角不等式 三角形不等式：. 证明：①非零向量、不共线时，的方向与、的方向都不同；则； ②非零向量、共线时，设， 与同向时，的方向与、相同且，的方向与相同且， 与异向时，的方向与相同且，的方向与相同且； ③、至少有一个时. 知识点二：平面向量的数量积的概念 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角． ②性质：当时，与同向；当时，与反向． （2）向量的数量积的定义 ①定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）； ②记法：向量与的数量积记作，即； ③规定：零向量与任一向量的数量积为0； （3） 平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为； 当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. ②向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 ③的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积. 2. 平面向量数量积的性质与运算律 （1）平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； ④； ⑤ （2）平面向量数量积满足的运算律 ①； ②（λ为实数）； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 知识点三：平面向量基本定理 1. 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量｛、｝叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 2.平面向量线性运算的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 已知非零向量 则： （2）向量数乘的坐标表示 3.平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 知识点四：奔驰定理 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2.奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 2.三角形四心及向量表示 （1）三角形重心的概念及向量表示 ①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1． ②重心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：，所以 ③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为． （2）三角形垂心的概念及向量表示 ①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心． ②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以为重心 （3）三角形内心的概念及向量表示 ①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心． ②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且 （4）三角形外心的概念及向量表示 ①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心． ②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心． 3.三角形