专题09解三角形重点题型复习（7知识点+7题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题9 :解三角形重点题型复习（7知识点+7题型）解三角形重点题型 题型一：利用正余弦定理解三角形 三角形中的有关边或者周长最值问题 三角形中的有关面积最值问题 三角形中的最值范围问题处理方法和变换原则 三角形中常用常识和结论 三角形的面积公式 余弦定理 正弦定理 题型三：三角形面积公式 题型三：利用正弦定理确定三角形解个数 题型四：利用正余弦定理判断三角形的形状 题型五：利用正余弦定理求三角形有关最值问题 题型六：解三角形的实际应用 题型七：解三角形有关大题训练 一、知识点梳理 知识点一：正弦定理 （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． （2）由正弦定理推出的几个结论 ①， ②，，（实现边和角的互相转化） ③， ④， ⑤A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 知识点二：余弦定理 （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC （2）余弦定理的推论： （3）余弦定理在解三角形中的应用 ①类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点三：三角形的面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心. （1）， （2） （3） 证明： （4）由正弦定理可得； （5）海伦公式：，其中 知识点四：三角形中常用常识和结论 （1）三角形中常用常识 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 ④， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， （2）判断三角形形状时常用到的结论 ①为直角三角形或或 ②为锐角三角形，且，且 ③为钝角三角形，且，且 ④若，则或 知识点五：三角形中的最值范围问题处理方法和变换原则 （1）利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. （2）转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. （3）在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： ①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； ②若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； ③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； ④代数式变形或者三角恒等变换前置； ⑥同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 知识点六：三角形中的有关面积最值问题 （1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②， ③ ④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （2） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 知识点七：三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （3） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.高频题型 题型一：利用正余弦定理解三角形 1．在中，，，，则角B的值为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，