2.5 从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.5 从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类 课程标准 学习目标 (1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． (2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． (3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． (4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 1.理解向量数量积的定义及投影向量； 2.掌握向量积的运算律和运算性质. 3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式； 4..掌握平面向量的夹角公式； 5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算. 知识点01向量的数量积 1.定义 已知两个非零向量a与b，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0． 2.几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积． 3.性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉. (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b. (3)a·a＝|a|2，即|a|＝． (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)． (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 4.运算律 交换律：a·b＝b·a 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 注：关于向量数量积应注意的问题 (1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥. (2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移． (3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cos θ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量． (4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． 【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ） A． B． C． D．1 【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________. 【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（　　） A．8 B．10 C．12 D．16. 知识点02 平面向量数量积的坐标表示 　 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 注：对于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负． 【即学即练6】已知，，则=___________. 【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　　B．0 C．－3 D．－11 【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________. 【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 知识点03　两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔． 注：这个结论与∥⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B， ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA ＝kOB，即 ＝，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ ＝0(θ为向量与的夹角)，· ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0. 【即学即练10】已知向量，且，则_______. 【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（ ） A． B．1 C．2 D．1或2 【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 知识点04　向量模的坐标表示 1．向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝． 在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)， 则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离． 2．两点间的距离公式