6.3.1平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1平面向量基本定理 复习导入 向量的数量积 向量的夹角 向量的数量积 性质与运算律 夹角 特殊情况 ，（注意共起点） 定义 投影 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 复习导入 共线？ ②向量加法的平行四边形法则？ 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 共起点，连对角 复习导入 新知探究 探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？ O M N 新知探究 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（零向量不能作为基底） . 新知探究 辨析：判断正误. (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ） (2)零向量可以作为基底. （ ） (3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ） × × √ 小试牛刀（巩固新知） 例1：若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ）. A.， B.， C.， D.， 【答案】： 练习巩固 例2：如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 若三点共线，为直线外一点存在实数，使且. 练习巩固 例3：如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形. 证明：如图，设，，则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 小结 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ①基底不唯一 ②基底是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 6.3.2平面向量的 正交分解及坐标表示 问题1 我们知道，点（1,2）在平面直角坐标系位置表示。 那么平面直角坐标中，如何表示向量呢？ x y O (1)取基底: 设与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量 分别为 ，取 作为基底.   新知探究 新知探究 x y O i j a 基底：（为x轴、y轴方向相同的两个单位向量） 平面向量的坐标表示： 平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作． 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标． 小试牛刀 练习：写出下列向量的坐标是与轴，轴方向相同的两个单位向量。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 【答案】：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； 练习巩固 例1：如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图可知，，所以. 同理，， ， 问题2 已知向量 你能得出 的坐标吗？ 所以 同理可得 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 新知探究 例2：已知 求 的坐标. 小试牛刀 新知探究 问题3：以为起点作向量，则的坐标与点的坐标有何联系？ x y O i j a x y A A(x,y) ； 结论:如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标 思考：向量坐标与向量的起点、终点坐标有什么关系呢？ 特殊向量坐标 如图示，已知 ，你能得出 的坐标吗？ 如图作向量 ，则 x y O A(x1,y1) B(x2,y2) 即 P 新知探究 结论：向量的坐标等于表示此向量的有向线段 终点的坐标减去始点的坐标。 例3：在下列各小题中，已知A, B的坐标，分别求 的坐标： 小试牛刀 练习1：若点A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1), 则AB与CD什么位置关系？证明你的猜想. 练习巩固 C x y O B A D 变式：已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)，(-1，3)， (3，4) ，求顶点D的坐标． 小试牛刀