方程与不等式知识点与题型总结讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

方程与不等式知识点与题型总结 知识点一 不等式的性质 【基础知识框架】 1.作差法比较两个实数大小 基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．不等式的性质 (1)如果，那么 ；如果，那么___________.即⇔ . (2)如果，，那么 .即，⇒ 。 (3)如果，那么 . (4)如果，，那么 ；如果，，那么 . (5)如果，，那么 . (6)如果，，那么 . (7)如果，那么 ()． 3.一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式的解集为∅的条件为 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：恒成立；恒成立. 【例题分析】 考向一 利用不等式的性质比较大小 1．（2023春·广东广州·高一统考开学考试·多选）若，，，为实数，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末·多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2023秋·广东广州·高一西关培英中学校考期末·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 考向二 利用作差法、做商法、估算法比较大小 4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一专题练习）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考向三 利用不等式的性质计算范围 6．（2021秋·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A．， B． C． D． 7．（2022秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 利用不等式的性质比较大小 1．（2022秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习·多选）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若则. B．若则. C．若，则 D．若，则 2．（2022秋·广东广州·高一校联考期末·多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·广东广州·高一校考期中·多选）设，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 考向二 利用作差法、做商法、估算法比较大小 4．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．不能确定 考向三 利用不等式的性质计算范围 6．（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 知识点二 不等式、方程与函数 【基础知识框架】 1.　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中均为常数，. 2. 一元二次方程的解： 3.一元二次函数的图像：；； 4．二次函数的零点 对于二次函数，我们把使的 叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 5．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 的图象 的根 有两个不相等的实根，且 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用