5.3.2函数的极值与最大（小）值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值（2） 函数的最大（小）值（1） 苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。 情境导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点, 那么在点x0附近找不到比y=f(x0)更大（小）的值． 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小. “会当凌绝顶,一览众山小” 在数学上，这种现象如何来刻画呢？你有什么启示？ “业余数学家之王”费马是一位17世纪的法国律师，费马的卓越成就之一是手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧. 3.函数最大值和最小值是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 1. 求函数 y=f(x)的极值的一般方法 2. 在可导函数中，导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件. 温故知新 思考1：函数的最值一定在极值点取得吗？ 思考2：函数在区间I上一定有最大值和最小值吗？ 思考2：函数在区间I上一定有最大值和最小值吗？ 若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在 极值点处取得. 若开区间(a,b)内的连续函数不一定有最值，如y=lnx 探究：函数的最大(小)值的存在性 深度学习： 1.在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思： （1）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值； （2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值. （1） （2） 强调 解： 当x变化时， 的变化情况如下表： ＋ 0 － （2，3） 2 （0，2） y x 令 ，解得 4 1 由表可知，函数在[0 , 3]上的最大值是4，最小值是 ． (5)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (2)求导数 (3)求方程 的根. (1)求函数定义域 (4)列表检查 在方程根左右的值的符号, 如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值; 如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值. 注： 如果函数 f(x)在[a , b]上连续，在(a , b)内可导，那么如何求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值呢？ 求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤: 变式：求函数f (x)＝sin 2x－x，x∈ 的最值 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 怎么证明这个结论呢？ 在教材P89例4. 技巧：利用函数的最值证明不等式 所以,当x=1时, f(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0 证明：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0 令 ,解得 故当x>0时, lnx≤ x－1. x y O y=x-1 y=lnx 除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方. 变式练习：教材P94练习2 极值与最值. 注意区分函数的极值和函数的最值的联系与区别.函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的整体性质. 1.知识清单： 本课总结、升华素养 2.方法总结： (1)一般地，如果目标函数在开区间的定义域内有最大（小）值，且在该区间内只有唯一极值点，那么这个极值点就是函数值的最大（小）值. （2）