5.2.1 三角函数的概念 导学案 -2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册

第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 【学习要求】 1.掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义; 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【教学过程】 一、情境引入 1.提问：锐角的正弦.余弦.正切怎样表示？ 2.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则 ;. 二、知识点整理 1．任意角三角函数的定义 (1)在平面直角坐标系中，设是一个任意角，在的终边上任取一点,它与原点的距离.那么： ;. 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦.余弦.正切都是以角为自变量，以坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． (2) 根据任意角的三角函数定义，将正弦.余弦.正切函数在弧度制下的定义域填入下表 三角函数 定 义 域 sin cos tan (3)特别地，当的终边与单位圆（以原点为圆心,以单位长度为半径的圆）相交于点，此时则 2．正弦.余弦.正切函数值在各象限的符号 对三角函数定义的理解： 三、典型例题选讲 （一）利用定义求任意角的三角函数值： 例1. 已知角α的终边上一点，求α的各三角函数值． 【变式】1．已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值． 2. 已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值． 【思考】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值． 例2.求下列各角的三个三角函数值： 【思考】利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π π π π π sin α cos α tan α （二）、判断三角函数值的符号 例3. 例4．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 四.小结提升： 通过这节课的学习①你经历了什么样的过程？②你获得了什么样的知识、技能、方法？③你感受最深的是什么？ 五、课堂练习 （一）选择题 1.已知角α的终边过点P（－1,2）,cos的值为 （ ） A．－ B．－ C． D． 2.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A．sin B．cos C．tan D． 3.是第二象限角，P（x, ） 为其终边上一点，且cos=x，则sin的值为 （ ） A． B． C． D．－ 4.已知角的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sin＋cos的值是 （ ） A． B．－ C．0 D．与的取值有关 5.若cos θ>0且sin θ<0，则角θ的终边所在象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.已知点P（）在第三象限，则角在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 8. 函数的值域是 （ ） A．{1} B．{1，3} C．{-1} D．{-1，3} （二）填空题 9．已知角的终边过点，则 10．代数式：sin2·cos3·tan4的符号是________．（填“正”、“负”） 11. 角的终边上有一点P（m，5），且，则sin+cos=______． 12．设角α的终边经过点(－6t，－8t) (t≠0)，则sin α－cos α的值是________． （三）解答题 13. (1) 已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值； （2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值； 14．已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0)，且cos θ＝x，求sinθ，tanθ. 15.确定下列三角函数值的符号: (1); (2); (3); (4) 16．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值. 【思考】