正弦定理、余弦定理复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理、余弦定理复习 模块一：知识思维导图 模块二：解三角形必备知识点 （一）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：① ②角化边 ③边化角 （二） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角． （三） 三角形中的公式变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 模块三：典型例题 题型一　对正弦定理的理解 例1　在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是(　　) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C.＝ D．正弦值较大的角所对的边也较大 题型二　用正余弦定理解三角形 已知两角及其一角对边或已知两角及其夹边解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．． 跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D．4 答案　(1)C 已知两边及其夹角解三角形 例2.　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值(cos 15°＝，sin 15°＝)． 跟踪训练2.　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　) A．4 B. C．3 D. 答案　D 已知两边及其中一边的对角解三角形 例3　 (1)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝， A＝45°，求边c. (2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形 跟踪训练3　(1)已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形． (2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝______． 答案　(1)C=90°A=90°a＝2,C=120°A=30°a＝　(2)105°或15° 已知三边(或三边的关系)解三角形 例4.　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 跟踪训练4　将例2中的条件改为“a∶b∶c＝2∶(6＋2)∶4”，求A，B，C. 题型三　边角互化问题 例1.在ABC中，若，则A等于（ ） A． B． C． D． 例2.在ABC中，若_________。 跟踪训练1 在ABC中，如果，那么等于 。 跟踪训练2 ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知asin A＋csin C－asin C＝bsinB. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 题型四　判断三角形的形状 例1.　 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状． 例2.　在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状 跟踪训练1　在△ABC中，cos2＝，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 答案　A 跟踪训练2　在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是(　　) A．直角三角形