专题二：函数的极值与导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题二：函数的极值与导数 高中数学人教A版（2019）选择性必修2 1 例1.函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a+b=____. 类型1.已知极值点求参数 类型1.已知极值点求参数 类型1.已知极值点求参数 类型1.已知极值点求参数 类型1.已知极值点求参数 类型1.已知极值点求参数 含参函数的极值问题【方法归纳】 类型2.已知区间上有极值求参数 类型2.已知区间上有极值求参数 类型2.已知区间上有极值求参数 类型2.已知区间上有极值求参数 例4 已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解：（1）导数f′(x)＝e－x(1－x)， 令f′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1， ∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， (2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 类型3.和极值有关的不等式 解：(2)设0<x1<1<x2，f(x1)＝f(x2)， 即 ， 取对数得ln x1－x1＝ln x2－x2. 例4 已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 类型3.和极值有关的不等式 ∴当t>1时，g(t)为增函数， ∴g(t)>g(1)＝0， 故x1＋x2>2. 证明：　f′(x)＝ln x＋1， 类型3.和极值有关的不等式 由f(x1)＝f(x2)，即x1ln x1＝x2ln x2， ∴当t>1时，g(t)为增函数，g(t)>g(1)＝0， ∴f(x)有极大值f(1)＝，f(x)无极小值. ∴x1＋x2＝>2⇔ln t－>0， 令t＝>1，则x2＝tx1，代入上式得ln x1－x1＝ln t＋ln x1－tx1， 得x1＝，x2＝. ∴ln t－>0， 设g(t)＝ln t－(t>1)， ∴g′(t)＝－＝>0， ∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增. 可设0<x1<<x2. 练习：已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的 两点A(x1，y1)，B(x2，y2). 求证：x1x2< . 由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得0<x<， ∴x1x2<⇔ln x1＋ln x2<－2⇔2ln x1＋ln t<－2⇔＋ln t<－2⇔ln t－>0. 设g(t)＝ln t－(t>1)， 则g′(t)＝>0. ∴ln t－>0. 故x1x2<. 令t＝>1，则x2＝tx1， 代入上式得x1ln x1＝tx1(ln t＋ln x1)，得ln x1＝. $$