5.3.2 函数的最大（小）值课件-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值. 极值点与极值的定义： 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). 函数最大值和最小值是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 5.3.2 函数的最大（小）值 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值比它附近点的函数值大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 问题1：函数的最值一定在极值点取得吗？ f(x)max=f(a) f(x)min=f(x3) 不一定，最大(小)值可能在极值点或区间端点取得. 闭区间[a,b]上的连续函数必有最大(小)值. 问题2：函数在区间I上一定有最大值和最小值吗？ 若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 且最值在极值点或区间端点取得. 若开区间(a,b)内的连续函数不一定有最值，如y=lnx 例1 例1 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方. 怎么证明这个结论呢？ 我们将不等式转化为： （恒成立问题） 我们将不等式转化为：（恒成立问题） 证明： 所以,当x=1时, f(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) 0 f (x) – + 单调递减 单调递增 所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0 证明：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0 令 ,解得 故当x>0时, lnx≤ x－1. x y O y=x-1 y=lnx 除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方. A 若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 例7给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程=()的解的个数. 解：（1）函数的定义域为 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递增. 当时， 有极小值= x (－∞, －2) －2 (－2, +∞) f '(x) 0 f (x) 当、的变化情况如表所示: 令f '(x) =0,解得： 因为f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex – + 单调递减 单调递增 例7给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程=()的解的个数. （2）令=0，解得： 当时，0; 当时，0. 所以的图象经过特殊点A(), B,C. 当时, 与一次函数相比, 呈爆炸性增长, 从而 当时，, 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示: x y O 1 -1 -2 • • • 例7给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程=()的解的个数. 解： x y O 1 -1 -2 • • • 由(1)及图可得，当时，有最小值 所以，方程=的解得个数有如下结论； 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)