5.3.2 函数的极值与最值（第二课时）课件-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

单调性与导数的关系： 设函数y=f (x)在区间(a,b)内的导数为f ′(x). 如果f ′(x)>0， 如果f ′(x)<0， 如果f ′(x)=0， 如果f(x)在(a,b)内为增函数， 如果f(x)在(a,b)内为减函数， 则f(x)在(a,b)内为单调递增； 则f(x)在(a,b)内为单调递减. 则f(x)在(a,b)内为常数函数； 则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。 在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点 5.3.2 函数的极大（小）值 如图观察，函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e 如图观察，函数y=f (x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？ x y O a b c d e 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值. 极值点与极值的定义： 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 条件 f '(x0)=0 x0附近左侧f '(x0)>0 x0附近右侧f '(x0)<0 x0附近左侧f '(x0)<0 x0附近右侧f '(x0)>0 x0附近f(x)<f(x0) x0附近f(x)>f(x0) 图像 极值点左右两侧的导数值异号 极值定义的理解 问题3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 问题1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上 问题4：极值点可能是区间端点吗？ 不一定 不一定 不可能 问题2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图, 不一定 极值反映了函数在某点附近的大小， 刻画了函数的局部性质. 问题5：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 不一定 练习1：下图是函数y=f(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 练习2.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 例1. 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ f (x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 x2 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 左正右负为极大，左负右正为极小 x f '(x) f(x) ﹣ + ﹣ 0 0 不是极值 极小值 两侧导数是否异号? 减 减 增 单调性(图) 周末作业 1.活页《跟踪检测十七》+练习册“素养”（分层要求）； 2.AB卷第七单元A卷. $$