5.3.1函数的单调性课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数公式表 导数的四则运算法则 复合函数的求导法则 y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 逐层求导 可推广至n层复合函数求导 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=2x<0 f(x)在R上单调递增 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈R时，f '(x)=1>0 x∈(0,+∞)时，f '(x)=2x>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 x y O f (x)＝x x y O f (x) ＝x2 x y O f (x) ＝x3 x∈(-∞,0)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(-∞,0)上单调递增 x∈(0,+∞)时，f '(x)=3x2>0 f(x)在(0,+∞)上单调递增 观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x∈(-∞,0)时，f '(x)=<0 f(x)在(-∞,0)上单调递减 x∈(0,+∞)时，f '(x)=<0 x y O f(x)在(-∞,0)上单调递减 5.3.1 函数的单调性 为什么函数的单调性与导数值的正负之间有这样的关系？ 在x=x1处，f (x1)<0； 函数f (x)的图象在x1附近递减 切线呈“左上右下”式下降 在区间I上， f ′(x)<0 在区间I上，f (x)单调递减 函数f (x)的图象在x0附近递增 在区间I上， f ′(x)>0 在区间I上，f (x)单调递增 在x=x0处，f (x0)>0； 切线呈“左下右上”式上升 在某个区间(a,b)内, 若f '(x)>0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递增; 若f '(x)<0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递减. 注：若在某个区间内恒有f '(x)=0，则函数y=f (x)有什么特性? f (x)是常函数. 例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象： 性质法：增+增=增,奇函数 观察法： 注：③函数f(x)的单调区间有多个时一般用“和”连接，不用“∪” 例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象： 例3.已知导函数的下列信息，试画出函数f (x)图象的大致形状. 当1<x<4时， f ′(x)>0； 当x<1, 或x>4时， f ′(x)<0； 当x=1, 或x=4时， f ′(x)=0. 练习：如图为y＝f ′(x)的图象，则函数y＝f(x) 的单调递减区间是(　　) A．(－∞,－1) B．(－2,0) C．(－2,0)和(2,＋∞) D．(－∞,－1)和(1,＋∞) y＝f ′(x) C 练习：已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) C 在某个区间(a,b)内, 若f '(x)>0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递增; 若f '(x)<0，则函数y=f (x)在区间(a,b)内单调递减. 注：若在某个区间内恒有f '(x)=0，则函数y=f (x)有什么特性? f (x)是常函数. 在区间I上， f ′(x)>0 在区间I上，f (x)单调递增 思考：上述关系反之是否成立？ 在区间I上，f (x)单调递增 在区间I上， f ′(x)>0 x y O f (x) ＝x3 在R上，f (x)=x3单调递增 在R上， f ′(x)=3x2≥0 当且仅当x=0时 f ′(x)=0 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 注意 例4 设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1, ＋∞)内是增函数,求实数a的取值范围． 解：f ′(x)＝3x2＋a. ∵ f (x)在(1, ＋∞)内是增函数， ∴ 3x2＋a ≥ 0对x∈(1, ＋∞)恒成立， 即a ≥ －3x2对x∈(1, ＋∞)恒成立 . 又当x∈(1, ＋∞)时，－3x2 <－3， ∴ a ≥ －3. ∴实数a的取值范围是[－3, ＋∞) ∵函数在(0,1]上单调递增 练习： 探究：函数变化快慢与导数大小的关系 如何说明函数y=lnx与y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况的不同呢？ y=lnx x y O 1 • (1) y=x3 x y O (2) 一般地，设函数y=f(x)，在区