7.5正态分布 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学学科 班级： 姓名： 课题：7.5 正态分布 【学习目标】 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题． 【重点、难点】 重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义. 难点：描述正态分布随机变量的概率分布. 【学习过程】 问题1：前面我们已经研究过离散型随机变量，在现实中还有大量问题中的随机变量不是离散型的，我们该如何研究它们呢？ 探究： 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）．用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6. 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 （1） 如何描述这100个样本误差数据的分布？ （2）如何构建适当的概率模型刻画误差的分布？ 问题2：由函数知识可知，图7.5-3中的钟形曲线是一个函数．那么，这个函数是否存在解析式呢？ 正态分布： 标准正态分布： 问题3：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 正态曲线有以下特点： （1）曲线在 的上方，与 不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线 对称. （3）曲线在 处达到峰值 (最高点) （4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴. （5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 练习1：如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 思考：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征？ 练习2：某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 问题4：假设，对给定的，是一个只与有关的定值，如何求随机变量在某个区间内的概率？ 总结：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈ ， P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈ ， P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈ ， 练习3：1、设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(3＜X≤5)； (3)P(X＞5)． 2、设随机变量，则的密度函数为 ， ， ， ， ， 3、设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以