7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版高中数学必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 广信数学组 1 引入 我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当△=b2-4ac<0时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决. 在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方? 如何开平方? 负实数开平方的意义是什么? 等等. 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了 解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用. 情境引入 问题：你知道数系是怎样扩充的吗？数系的每一次扩充又解决了哪些问题？ 3 情境引入 4 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 从社会实践来看 随着社会发展，数系在不断扩充． 计数的需要 引入了 自然数 课堂引入 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方形对角线等问题 引入了 无理数 从社会实践来看 随着社会发展，数系在不断扩充．数系的每一次扩充都是为了满足社会生产实践的需要 计数的需要 引入了 自然数 情境引入 另一方面，数集的每次扩充都是为了解决数学内部的矛盾。 从数学发展的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ 引入 新数 （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 情境引入 为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i, 使得x=i是方程 的解, 即使得 i2 = -1. i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary (想象的，假想的)一词的词头，i2=i·i. （1）i2 = -1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 探究新知 8 探究新知 问题4：把实数系扩充之后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 思考：你能否写出一个代数形式，把刚刚的数都包含在内？ 实数a 把实数b与i相乘，结果记作bi 把实数a与bi相加，结果记作a+bi 例如：2i，-3i， 例如：2+i，1-3i， a+0i 0+bi 所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式 9 实部 虚部 1、复数的概念 (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. i 叫虚数单位 (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示. 探究新知 复数的代数表示 10 86188 (8) - 虚数 纯虚数 实数 例1：指出复数的实部与虚部。 课堂典例 问题4：复数 什么情况数下为实数？ 11 虚数集 纯虚数集 实数集 复数集 问题5：实数集R与扩充后复数集C是什么关系呢？ 复数 z=a+bi 问题6：你能对复数a+bi(a，b∈R)进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？ 探究新知 2、复数的分类 12 课堂典例 (2)当 ，即 时，复数 z 是虚数． 例2 实数m取什么值时，复数 是 (1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 解：(1) 当 ，即 时，复数 z 是实数． (3)当 ，且 ， 即 时，复数 z 是纯虚数． (1)是虚数； (2)是纯虚数. 13 探究新知 3、复数相等 复数只