第18章《勾股定理》（导图+知识梳理+九大考点讲练）-2023-2024学年沪科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

2023-2024学年沪科新版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第18章 勾股定理 （思维导图+知识梳理+九大重点考向举一反三讲练） 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识点01：勾股定理 【高频考点精讲】 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 知识点02：勾股定理的逆定理 【高频考点精讲】 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 　　 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 【高频考点精讲】 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 重点考向01：直角三角形的性质 重点考向02：两点间的距离公式 重点考向03：勾股定理 重点考向04：等腰直角三角形 重点考向05：勾股定理的证明 重点考向06：勾股定理的逆定理 重点考向07：勾股数 重点考向08：勾股定理的应用 重点考向09：平面展开-最短路径问题 重点考向01：直角三角形的性质 【典例精讲】（2023春•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，BD为△ABC中线，E为AB上一点，且BE＝BD，∠BDC＝60°，则∠ADE的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式训练1-1】（2020春•商河县期末）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（　　） A．任意两边之和大于第三边 B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C．至少有两个角是锐角 D．内角和等于180° 【变式训练1-2】（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　． 【变式训练1-3】（2021春•通许县期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 重点考向02：两点间的距离公式 【典例精讲】（2023秋•南海区校级期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|． （1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 　3　； （2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 　（5，4）或（﹣1，4）　； （3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为 　 　； （4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 【变式训练2-1】（2021•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题． 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴