第16章《二次根式》（导图+知识梳理+十大考点讲练）-2023-2024学年沪科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

2023-2024学年沪科新版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第16章 二次根式 （思维导图+知识梳理+十大重点考向举一反三讲练） 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 知识点01：相交线 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 知识点01：二次根式的相关概念和性质 【高频考点精讲】 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点剖析】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点剖析】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点02：二次根式的运算 【高频考点精讲】 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点剖析】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 重点考向01：二次根式有意义的条件 重点考向02：二次根式的性质与化简 重点考向03：最简二次根式 重点考向04：二次根式的乘除法 重点考向05：分母有理化 重点考向06：同类二次根式 重点考向07：二次根式的加减法 重点考向08：二次根式的混合运算 重点考向09：二次根式的化简求值 重点考向10：二次根式的应用 重点考向01：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（2023秋•长春期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2 【变式训练1-1】（2023春•富锦市期末）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“Φ”为当m＜n时，mΦn＝2；当m≥n时，mΦn＝2，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算（3Φ2）﹣（8Φ12）的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023•平潭县校级开学）已知． （1）求x的值． （2）求的值． 【变式训练1-3】（2023春•朝天区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b满足，且c＝12，判断此三角形的形状，并说明理由． 重点考向02：二次根式的性质与化简 【典例精讲】（2023春•兰陵县期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（　　） A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c 【变式训练2-1】（2023春•梁子湖区期中）若等式＝﹣1成立，则x的取值范围是 　 　． 【变式训练2-2】（2023秋•天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣． 【变式训练2-3】（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　　； （2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 重点考向03：最简二次根式 【典例精讲】（2023春•禹州市期中）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2021春•蜀山区期末）下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D．