河南中招热点专题(六) 相似三角形的综合应用-【四清导航•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

河南中招热点专题(六) 相似三角形的综合应用 第二十七章　相　似 数学 九年级下册 人教版 四清导航 1 60° 2 3 4 2．如图①，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE. (1)【发现】：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②，线段DG与BE之间的数量关系是 __________；位置关系是 __________； (2)【探究】：如图③，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)【应用】：在(2)情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长． DG＝BE BE⊥DG 5 6 7 1. (河南中考)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP. (1)观察猜想：如图①，当α＝60°时， eq \f(BD,CP) 的值是 ____，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 _______； (2)类比探究：如图②，当α＝90°时，BD交AC于点O，交PC于点E，请写出 eq \f(BD,CP) 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由； (3)解决问题：当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 eq \f(AD,CP) 的值． 解：(2)如图②中，BD交PC于点E. ∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AP) ＝ eq \r(2) ，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA， eq \f(BD,CP) ＝ eq \f(AB,AC) ＝ eq \r(2) .∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°　(3)如图，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H，设EF与AD交于点O. 如图，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H，设EF与AD交于点O. 易知∠PAO＝45°.∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH， ∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC， ∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA. ∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，由勾股定理可知PD＝ eq \f(\r(2),2) a，∴ eq \f(AD,CP) ＝ eq \f(AD,PD＋DC) ＝2－ eq \r(2) 解：(2)DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图③，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG.∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AE,AG) ＝ eq \f(1,2) ，∴△ABE∽△ADG，∴ eq \f(BE,DG) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(1,2) ，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE.∵∠AKB＋∠ABE＝90°，∴∠AKB＋∠ADG＝90°.∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG 如图④，设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB， ∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) . ∵AB＝ eq \r(5) ，∴EG＝AB.∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE.且AG＝BE＝2.∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°.由(2)知，△ABE∽△ADG，∴ eq \f(BE,DG) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(1,2) ，即 eq \f(2,DG) ＝ eq \f(1,2) ，∴DG＝4 $$