极速提分法第3招巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第3招 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm.求BN的长． 极速提分法 【解题秘方】 用含30°角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系．若求某直角三角形的边长时，考虑建立含30°角的直角三角形模型；若给出的是15°角，则构造15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角． 极速提分法 解：如图，连接AN. ∵MN为AB边的垂直平分线，∴AN＝BN. ∴∠NAB＝∠B＝15°. ∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°. 在Rt△ACN中，∠ANC＝30°， ∴AN＝2AC＝2×4＝8(cm)． ∴BN＝8 cm. 极速提分法 类型 1 直接运用含30°角的直角三角形的性质 分 类 训 练 1 [2023·吉林]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC<AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′.若点B′刚好 落在边AC上，∠CB′E＝30°，CE＝3， 则BC的长为________． 9 极速提分法 2 [2023·武汉十一中月考]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE. 类型 2 连线段构造含30°角的直角三角形 极速提分法 【证明】如图，连接AE. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°. ∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°，∴CE＝2AE. 又∵BE＝AE，∴CE＝2BE. 极速提分法 3 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． 类型 3 作垂线构造含30°角的直角三角形 极速提分法 【概念理解】 (1)如图①，在7×7的方格纸中，将每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点都在格点上，请在所给的方格纸中画出△ABC，使△ABC为“等高底”三角形，且点C在格点上；(画出一个即可) 【解】△ABC如图①所画 (答案不唯一)． 极速提分法 (2)如图②，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，∠ACB＝30°，则△ABC________“等高底”三角形；(填“是”或“不是”) 是 极速提分法 【点拨】 极速提分法 极速提分法 【点拨】 极速提分法 ②如图④，当AB是“等底”时，分别过点O，A作OE⊥AB，AD⊥OB，垂足分别为E，D， ∴AB＝OE. 极速提分法 极速提分法 ③如图⑤，当OA是“等底”时，分别过点B，A作BF⊥OA，AD⊥OB，垂足分别为F，D， ∴BF＝OA. 极速提分法 极速提分法 如图②，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于D. ∵∠C＝30°， ∴AD＝AC＝×8＝4， ∴AD＝BC＝4， ∴△ABC是“等高底”三角形． 【应用拓展】 (3)如图③，在△OAB中，点B的坐标为(0，2)，点A在射线y＝x(x≥0)上，若△OAB是“等高底”三角形，则点A的坐标为______________． (2，1)或 ①如图③，当OB是“等底”时，过点A作AD⊥OB，垂足为D，∴AD＝OB. ∵点B的坐标为(0，2)， ∴OB＝AD＝2，∴点A的横坐标为2. ∵点A在射线y＝x(x≥0)上， ∴易得A(2，1)； 设A(2a，a)，则AD＝2a，OD＝a. ∵S△AOB＝AB·OE＝OB·AD，OB＝2， ∴AB·AB＝OB·AD，∴AB2＝2AD. 又∵AD＝2a，OD＝a， ∴AB2＝(2a)2＋(2－a)2＝5a2－4a＋4＝4a，即5a2－8a＋4＝0.整理得＝－<0，∴方程无解，∴AB不能是“等底”； 设点A(2b，b)，则AD＝2b，OD＝b. ∵S△AOB＝OA·BF＝OB·AD，∴OA2＝2AD， ∴(2b)2＋b2＝4b，解得b1＝，b2＝0. ∵b不为0，∴b＝，∴A. 综上所述，点A的坐标为(2，1)或. $$