极速提分法第5招三角形中的六种常见证明类型 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第5招 三角形中的六种常见证明类型 北师版 八年级下 类型 1 证明数量关系 分 类 训 练 1 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 求证：∠DBC＝∠DCB. 极速提分法 极速提分法 2 [2023·广东实验中学期末]如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，B，C，G在同一直线上，CF平分∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF. 极速提分法 【证明】∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE. ∵CF平分∠ACG，∴∠ACF＝∠GCF. ∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF. ∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠ACF.∴CD＝ED，CD＝DF. ∴DE＝DF. 极速提分法 3 如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为一边作等边三角形PCE. 求证：AE∥BC. 类型 2 证明位置关系 极速提分法 【证明】∵△ABC，△PCE均为等边三角形， ∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°. ∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE. 极速提分法 4 [2023·深圳外国语学校月考]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F.若AB＝BC＋AD，求证：BE⊥AF. 极速提分法 极速提分法 ∵AB＝BC＋AD，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF. ∴△ABF是等腰三角形． ∵AE＝EF，∴E为AF的中点， ∴BE⊥AF. 极速提分法 5 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. 类型 3 证明和差关系 极速提分法 【证明】如图，延长CB至点E，使BE＝BA， 连接AE，则∠BAE＝∠E.∴∠ABC＝ ∠E＋∠EAB＝2∠E. 又∵∠ABC＝ 2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C. 又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC， ∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE. ∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.即AB＋BD＝AC. 极速提分法 6 [2023·上海徐江中学月考]如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC. 求证：AB－AC＞PB－PC. 类型 4 证明不等关系 极速提分法 【证明】如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 极速提分法 7 [2023·北京大兴二模]如图，在△ABC中，∠B＝45°，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD，且点D落在BC的延长线上，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交AB于点F. 类型 5 证明倍分关系 极速提分法 【解】依题意补全图形，如图①所示． 极速提分法 极速提分法 (2)用等式表示线段CD与BF之间的数量关系，并证明． 极速提分法 由(1)可知∠GAD＝∠BDF， ∴∠AFD＝∠FAD，∴DF＝AD. ∵FH⊥BC，∴∠FHD＝90°. ∵AG⊥BD，∴∠AGD＝90°，∴∠FHD＝∠AGD. ∵∠BDF＝∠GAD， ∴△FHD≌△DGA(AAS)，∴FH＝GD. 极速提分法 极速提分法 8 已知：在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE. (1)如图①，求证：AD＝CD； 类型 6 证明面积关系 极速提分法 【证明】∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF， ∴∠ADE＝∠CGF. ∵AC⊥BD，BF⊥CD， ∴∠ADE＋∠DAE＝∠CGF＋∠GCF＝90°. ∴∠DAE＝∠GCF. ∴AD＝CD. 极速提分法 (2)如图②，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 【解】面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG. 极速提分法 【证明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD. ∴∠DBC＝∠DCB. 在△CBP和△CAE中， ∴△CBP≌△CAE(SAS)．∴∠CAE＝∠CBP＝60°. ∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC. 【证明】∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点，∴DE＝EC. 在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AE＝EF，AD＝CF. 在△AEP和△ACP中， ∴△AEP≌△ACP(SAS)．∴PE＝