极速提分法第6招分类讨论思想在等腰三角形中的应用 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第6招 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长． 极速提分法 【解题秘方】 当满足条件的图形无法确定时，分类讨论是解决问题的首选方法．本例中由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论． 极速提分法 解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD. (1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm. ∵BC＝5 cm，∴AB＝8 cm. (2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm. ∵BC＝5 cm，∴AB＝2 cm. 但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不合题意，舍去．故腰长为8 cm. 极速提分法 应用 1 当顶角或底角不确定时，分类讨论 分 类 训 练 极速提分法 【点方法】 【答案】C 根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角进行分类讨论． 极速提分法 2 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，求顶角的度数． 【解】设另一个角的度数是x，则一个角的度数是2x－20°.分三种情况讨论： ①当x是顶角，2x－20°是底角时，x＋2(2x－20°)＝180°，解得x＝44°，所以顶角是44°； 极速提分法 ②当x是底角，2x－20°是顶角时，2x＋(2x－20°)＝180°，解得x＝50°， 所以顶角是2×50°－20°＝80°； ③当x与2x－20°都是底角时，x＝2x－20°，解得x＝20°，所以顶角是180°－20°×2＝140°. 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°. 极速提分法 3 [2023·扬州二模]如图，大小两个量角器的零刻度线在同一条直线上，点P是大量角器上一点，对应的度数是130°，若△APB是等腰三角形，则PB与小量角器的交点在小量角器上对应的度数为________________． 50°或65°或80° 应用 2 当底和腰不确定时，分类讨论 极速提分法 【点拨】 极速提分法 4 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D为AC上任意一点，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求∠BDC的度数． 极速提分法 极速提分法 5 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，求这个等腰三角形的底角的度数． 【解】设在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高．分两种情况讨论：如图①，当BD在△ABC内部时，∠ABD＝50°，∠ADB＝90°，则∠A＝40°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°. 应用 3 当高的位置不确定时，分类讨论 极速提分法 如图②，当BD在△ABC外部时，∠ABD＝50°， ∠ADB＝90°， 则∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝140°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝20°. 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是70°或20°. 极速提分法 6 [2023·天津实验中学月考]在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D, 交直线AC于点E，连接BE.若∠EBC＝42°，求∠BAC的度数． 应用 4 当腰的垂直平分线状况不确定时，分类讨论 极速提分法 极速提分法 极速提分法 7 在△ABC中，AB＝AC，周长为27 cm，且AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为3 cm的两个三角形．求△ABC各边的长． 应用 5 当腰上的中线状况不确定时，分类讨论 极速提分法 极速提分法 极速提分法 8 [2022·绍兴]在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连接AP，将△APC沿AP翻折得△APD，展开后连接DC，记∠BCD＝α. (1)如图，当P与E重合时，求α的度数； 应用 6 当点的位置不确定时，分类讨论 极速提分法 【解】∵∠ABC＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°. ∵AE平分∠BAC，P与E重合，△APC沿AP翻折得△APD， ∴D在AB边上，AC＝AD. ∴∠ACD＝∠ADC＝(180°－∠BAC)÷2＝65°. ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°. 极速提分法 (2)当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系. 【解】①当点P在线段BE上时，如图①所示． ∵将△APC沿AP翻折得△APD， ∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD. ∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACD＝90°－α. 又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠B