8.2.3 倍角公式（2知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

8.2.3 倍角公式 课程标准 学习目标 （1）会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； （2）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用； （1）掌握二倍角公式及其变形应用； （2）掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切的区别与联系； （3）通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养。 知识点01 倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、对倍角公式的理解 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等。“倍”是描述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想； （2）由任意角的三角函数的定义可知，，中的角是任意的，但要使有意义，需要； （3）一般情况下，，， 【即学即练1】（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值. （1）; （2）; （3）; （4）. 知识点02 倍角公式的变形 1、升幂公式：， 2、降幂公式：， 【即学即练2】（22-23高一下·广东深圳·期中）计算：（ ） A． B． C． D． 【题型一：利用二倍角公式给角求值】 例1．（23-24高一下·山西朔州·阶段练习） ． 变式1-1．（23-24高一上·江苏南通·期末）（多选）下列各式中，计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（22-23高一下·江苏苏州·期中）计算：（ ） A． B． C． D． 变式1-3．（2024高一上·全国·专题练习）计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【方法技巧与总结】 给角求值的解题策略： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦。 【题型二：利用二倍角公式给值求值】 例2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，则的值为 ． 变式2-2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ． 变式2-3．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知，则 . 变式2-4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，且.则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 条件求值问题常用两种解题途经： （1）对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； （2）对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论； 【题型三：利用二倍角公式给值求角】 例3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，且，，则 . 变式3-1．（2024高一上·全国·专题练习）已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，则α＋2β的值为 ． 变式3-2．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知为锐角，． （1）求和的值； （2）求的值． 变式3-4．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【方法技巧与总结】 给值求角实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 【题型四：利用二倍角公式化简证明】 例4．（2024高一上·全国·专题练习）化简． 变式4-1．（23-24高一上·广东深圳·期末）化简或证明： （1） （2） 变式4-2．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）化简： （1） （2）. 变式4-3．（23-24高一·全国·课时练习）证明下列等式： （1）； （2）. 变式4-4．（23-24高一下·云南大理·阶段练习）证明： （1） （2） （3）已知，，求证． 【方法技巧与总结】 应用二倍角公式化简证明的三个关注点：