极速提分法第10招旋转问题中作辅助线的技巧 练习课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第10招 旋转问题中作辅助线的技巧 北师版 八年级下 例 典 例 剖 析 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.求BC的长． 极速提分法 【解题秘方】 通过图形旋转把已知条件转化到同一个三角形中． 极速提分法 解：∵D是BC的中点，∴将△ADC绕点D顺时针旋转180°，得到△EDB，如图所示． 易知A，D，E三点共线，且AE＝ 2AD＝12，EB＝AC＝13.在△ABE中， ∵AB2＋AE2＝52＋122＝169，EB2＝132＝169， ∴AB2＋AE2＝EB2.∴∠BAE＝90°. 极速提分法 技巧 1 构造旋转图形法 分 类 训 练 1 如图，P为等边三角形ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3.求∠BPC的度数． 极速提分法 【解】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60° 得到△BDA，连接PD. 由旋转的性质得BD＝PB＝4，AD＝PC＝3， ∠BPC＝∠ADB，∠DBP＝∠ABC＝60°， ∴△BDP是等边三角形．∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°. ∵AD2＋DP2＝32＋42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2.∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°.∴∠ADB＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°.∴∠BPC＝150°. 极速提分法 极速提分法 【解】如图，以DA为一边，A为直角顶点向四边形ABCD外作等腰直角三角形DAE，连接CE. ∴AD＝AE，∠DAE＝90°. ∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴AB＝AC，∠CAB＝90°. ∴∠BAD＝∠CAE. ∴把△BAD绕点A顺时针旋转90°能与△CAE完全重合． ∴BD＝CE. 极速提分法 极速提分法 3 [2023·华中科技大学附中模拟]在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，且CA＝CB. (1)如图①，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD. 极速提分法 ①求证：△ACE≌△BCD； 极速提分法 ②求证：AE2＋AD2＝2AC2； 【证明】∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠EDC＝∠E＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴BD＝AE，∠CDB＝∠E＝45°.∴∠ADB＝∠EDC＋∠CDB＝90°. 在Rt△ADB中，BD2＋AD2＝AB2， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∵AC＝BC，∴2AC2＝AB2， ∴BD2＋AD2＝AE2＋AD2＝2AC2，即AE2＋AD2＝2AC2. 极速提分法 极速提分法 【点拨】 极速提分法 【点方法】 运用类比思想解决问题，关键要扣住“类”，相当于例题，它代表这一类的题目运用这种方法解决．通过比较要解决的问题与已解决的问题之间的共性，寻找解决问题的方法． 极速提分法 技巧 2 构造直角三角形法 D 极速提分法 5 [2023·北京]在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE. (1)如图①，当点E在线段AC上时， 求证：点D是MC的中点； 技巧 3 构造全等三角形法 极速提分法 【证明】由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2α， ∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE－∠C＝2α－α＝α. ∴∠C＝∠DEC.∴DE＝DC. ∴DM＝DC，即点D是MC的中点． 极速提分法 (2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，求∠AEF的大小． (提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 极速提分法 【解】如图，延长FE到H使EH＝FE，连接CH，AH. ∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位线． ∴DE∥CH，CH＝2DE. 由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2α， ∴∠FCH＝2α. ∵∠B＝∠ACB＝α， ∴∠ACH＝α，AB＝AC. ∴∠B＝∠ACH. 极速提分法 设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m＋n， DF＝CD＝n.∴FM＝DF－DM＝n－m. ∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝m＋n. ∴BF＝BM－FM＝m＋n－(n－m)＝2m.∴CH＝BF. 极速提分法 极速提分法 在Rt△BDA中，BD＝＝＝， ∴BC＝2BD＝2. 2如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝12，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.求BD的长． ∵AD＝8，△ADE是等腰直角三角形， ∴∠ADE＝45°，DE＝16. ∵∠ADC＝45°，∴∠CDE＝90°.∴△CDE是直角三角形． ∵DE＝16，CD＝12，∴CE＝＝20. ∴BD＝20. 【证明】∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠AC